수학

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형식과학의 일반적 분류

수학

통계학

논리학

암호학

1. 개요
2. 명칭 문제
3. 분야
4. 다른 학문과의 관계
5. 대학 교과과정
5.1. 학부
5.2. 대학원
7. 수학에 관련된 상
9. 수험 과목으로서의 수학
10. 관련 문서
11. 관련 어록
12. 관련 캐릭터

1. 개요

/ Mathematics, Maths, Math

수와 그 논리에 대해 연구하는 학문. 여기서 를 '도구', 논리를 '틀'이라고 파악하면 쉽다. 넓게는 모든 것들을 추상화시키고 형식화시키는 학문 정도로 여긴다.

현대 과학자들에게 수학이란 물리학이나 화학 같이 원래 수학과 함께 했던 학제부터, 암호학, 전산학, 논리학, 통계학 등의 형식적인 학제, 의학, 지리학, 지진 과학, 대기과학, 전염병 역학 등등 모든 것을 대상으로 하는, 과학을 풀어나가기 위한 도구로써 받아들여지고 있다.

2. 명칭 문제

한자어 數學(수학)의 직역 탓에 막연히 '수학'이라고 하면 숫자나 계산만 다루는 것(산수)이라고 오해하기 십상이지만[1], 가장 근접한 정의는 숫자를 바탕으로 하는 논리 체계를 연구하는 학문이다.

고대 그리스어 mathematikos에 기반한 영어 단어 mathematics는 아예 ‘배움의 기술’로 직역된다. 이처럼 서양동양이 이 학문을 바라보는 관점은 서로 상당한 차이를 보인다는 것을 알 수 있다.[2]

이 때문에 '수학을 어떻게 정의내리는지' 연구가 이루어졌으나 대부분의 시도가 실패하였다. 실제로 1990년대에 접어들면서 학문의 명칭을 물리학(物理學)처럼 ‘수리학(數理學)’, ‘수리(數理)’로 바꾸려는 움직임을 보였으나, 기존에 쓰던 동음이의어[예]가 굉장히 많은 관계로 결과는 미미했다.[4] 일각에서는 '생물'에서 '생명과학'으로 바꾼 경우처럼 초중등교육 과정에서부터 대대적인 개편 과정을 거듭해야 정착을 기대할 수 있을 것이라고 지적한다.

3. 분야

다음과 같은 단체에서 수학을 체계화하고 있다.

  • MSC(Mathematics Subject Classification)
알파벳과 숫자를 혼용해서 Mathematical Reviews와 Zentralblatt MATH, 2개의 수학 데이터베이스에서 사용되는 분류체계다. 많은 학술지에서 사용되는 분류체계다. 자세한 사항은 MSC2010 참조.

  자세한 내용은 한국십진분류법/요목표 문서를 참고하십시오.

3.1. 순수수학

3.1.1. 이산수학

이산구조(discrete structure)에 관한 수학이다. 수학을 커다란 두 줄기로 양분하면 이산구조와 연속체 구조가 나온다. 이산구조와 연속체 구조는 일반적으로 '셀 수 있는 것'과 '셀 수 없는 것' 정도로 구분하며 개중에 연구 대상이 '셀 수 있는 오브젝트'일 경우 보통 이산수학이라 칭한다. 이 '셀 수 있는 오브젝트'는 다시 두 가지로 나뉘는데 '알고리즘적인 것'과 '비알고리즘적인 것'이 그것이다. 덕분에 컴공에서도 꽤 배운다.

수리논리학에 속하는 분야이기도 하고, 이산수학에 속하는 분야이기도 하다. 아마도 모든 수학의 기본이 되는 집합의 개념을 배우는 학문이기 때문일 듯. 필요로 하는 수학적 사전지식이 매우 적고 타 수학 분야와 관련성도 비교적 적은 편임과 동시에 집합론 자체도 매우 큰 분야이기 때문에 해외의 경우 집합론을 전공분야로 정할 시 선형대수와 실해석의 쌩기초만 배운 후 이후부터는 석사 졸업 때까지 거의 수리논리와 집합론 과목만 들을 수 있는 대학도 있긴 하다. 물론 그만큼의 교수진이 받쳐 줘야 가능한 커리큘럼이다. 보통의 경우는 집합론을 전공으로 정하더라도 학부 말이나 석사쯤 간 다음에 논리학과 같이 묶어서 본격적으로 배우기 시작하는데 사실 이런 '기본 루트'를 쫓아갈 경우 석사 졸업 때까지도 기초 수준을 벗어나기가 힘들기 때문에 상당한 수준의 독학이 요구된다. 보통 수학을 잘 모르는 이들은 '집합'을 중학교부터 배운다고 무시하는 경우가 많은데 수학 분야 중 가장 추상적인 분야 중의 하나이며 도저히 상상 불가능한 '이상하고 복잡한' 집합들을 순수 논리에 의지해서 헤쳐나가야 하며 집합론 공리계 자체를 다루는 학문이기 때문에 사실 보통의 인간 직관이 가장 안 통하는 분야 중 하나라 '쉽다'와는 당연히 거리가 매우 멀다.
대수학을 비롯한 근대 수학이 꽃피기 전까지 가히 수학의 여왕으로 군림했다고 할 수 있는 분야다. 정수론에서 다루는 정수(整數)가 Integer이 아니라 Number로 번역되는 것만 봐도 알 수 있다. 실제로 대수적 수까지 포함하여 수론으로 통칭하기도 한다. 현대 수학의 발전 이후에는 주로 대수학의 범주에 들어가게 되었으나, 문제 해결을 위한 방법론은 실로 다양하다. 대수학적 방법론 외에도 디오판토스 방정식과 타원곡선 등을 다루는 데에는 해석적 방법론이, 격자점 문제 등을 다루는 데에는 기하학적 방법론이 사용되기도 한다. 또 20세기 이전에는 정치적으론 그다지 각광을 받지 못하는 수학자들만의 분야였으나, 양차 세계대전 당시 소수를 기반으로 한 암호 체계가 발달하면서 사회적으로도 주목받게 되었다. 이와 동시에 우리 현실과 밀접하게 연관되어 있는 계산적 정수론이 발전하게 되었다. 수많은 정수론자들이 리만가설을 증명하려 노력하고 있지만 아직 증명을 못하고 있다. 넷상에서 리만가설이 증명되면 RSA 암호체계에 결함이 생긴다는 이야기가 떠도는데, 근거없는 이야기이다. 이 이야기는 다큐멘터리 등에서 수학의 유용성을 어떻게 해서든 보이려 일부러 표현을 모호하게 하였기 때문으로 보이는데, 리만가설과 RSA와의 관계는 소수를 다룬다는 사실 이외에는 없다.

3.1.2. 대수학

구조를 연구하는 학문이다. 대수적 구조란 쉽게 말해 '연산'의 구조다. 임의의 집합에 특정 연산을 조건에 맞게 정의하면 대수적 구조가 된다. 학부 때 해석학과 함께 수학의 양대산맥을 이루는 분야인데 해석학이 디테일한 테크닉에 집중된 스타일이라면 대수학은 추상적인 논리 위주의 분야라고 볼 수 있다. 물론 학부 때로 한정되는 이야기고 대학원 가면 결국 타 분야에서 대수적 구조가 발생하지 않을 이유가 없으므로 섞이게 된다.

현대대수학이 발전하는 과정에서 발달하게 된 것이 군론이며 추상대수학의 기본이 되는 분야다. 역사적으로도 19세기 추상대수학이 태동할 때 처음 개발된 분야다. 사실상 추상대수학 자체가 군론에서 뻗어나간 결과물이라고 보아도 무방하다.

3.1.3. 기하학

공간을 다루는 수학 분야다.

우리가 중고등학생 때 배우는 기하학이랑은 차원이 다르다. 당장 유클리드 기하학만 하더라도 수많은 공식들이 난무하며 머리가 돌아갈 지경. 학부 때 배우는 기하학은 보통의 2~3차원 유클리드 공간에 존재하는 기하학적 오브젝트[5]를 고차원으로 확장시켜 배우며 높은 수준으로 가면 종이에 표현이 불가능한 추상적 공간과 수식, 논리식밖에 안 나온다. 예를 들어, 2~3차원에서의 surface를 임의의 차원으로 확장시킨 것을 manifold(다양체)라고 한다. 그리고 여기까지 오면 이게 대체 왜 기하학에 속하는지가 이해하기 힘들 것이다. 사실 이는 그림으로 표현이 불가능해졌을 뿐, 공간의 기하학적 구조를 다룬다는 사실 자체는 같기 때문에 기하학의 한 개체로 보는 것이 맞는다. 기하학은 일반적으로 해석기하학과 대수적 기하학으로 나뉘는데, 현대수학에 와서 해석기하학은 미분기하학으로 대표된다. 미분기하학은 미분이라는 구조를 가지고 curve와 surface, 나아가서는 manifold와 vector bundle을 위시한 기하학적 개체를 다루는 학문이다. 대수기하학의 경우 현대수학의 각 분야 전반과 매우 깊은 연관을 맺고 있다. 심지어 수학기초론도 포함된다. 일반적인 기하학보다도 훨씬, 타 분야와의 관련성이 많다.

3.1.4. 위상수학

위상공간에 관한 학문으로 위상(topology)이란 임의의 집합과 그 위에 특정 조건에 따라 정의된 열린 집합들의 집합족이고, 어떤 집합에 어떠한 위상을 준 것을 위상공간이라 한다. 저 조건이란 게 매우 약하기 때문에 사실상 수학에서 사용되는 거의 모든 오브젝트에 정의가 가능하다. 즉, 프로그래밍 언어에도 위상을 정의하여 위상공간으로 만들 수 있고 논리체계에도 위상을 정의하여 위상공간으로 만드는 게 가능하다.

위상수학은 크게 일반위상수학, 대수적위상수학, 미분위상수학의 세 분야가 있다. 일반위상수학은 말 그대로 일반적인 공간의 성질들, 예를 들어 컴팩트, 분리공리 등을 다루고, 대수적위상수학은 호모토피라든지 이의 기본군, 그리고 피복공간이나 공간의 축약 등에 대해 다룬다. 마지막으로 미분위상수학은 미분기하학에서 다루었던 여러 대상들, 텐서, 접공간 등이 등장하고 또한 미분다양체 위에서의 여러 가지 성질이나 그런데 사실 미분다양체는 미분위상수학의 부분이자 전체다 미분형식 등을 특히 주로 다룬다.

위상수학에 관해 정성적으로 말하자면 보통의 기하학이 거리공간을 사용하여 '거리'도 어느 정도 중시한다면 위상공간은 '경계'를 중시하는 경향이 있다. 즉, 위상수학에서는 '닿았는가 닿지 않았는가'를 중시하고 닿지 않았을 경우 '얼마나 떨어져있는가'는 보통 거리공간을 사용하는 기하학의 영역이다. 이는 상기했듯 위상수학은 기하학과 달리 공간의 본질에 대해 주로 다루기 때문이다. 물론 초반부 이야기고 어차피 나중 가면 알아볼 수 없게 뒤섞이게 된다. 이는 공간의 표면과 본질은 완전히 분리될 수 없음을 의미한다.

3.1.5. 해석학

변화(함수)와 무한(무한대, 무한소)에 대한 학문이다.

다시 말해 여러 함수를 탐구함과 함께 이를 통해 다른 분야로의 응용을 추구하는 학문이라 할 수 있을 것이다. 물론 해석학 내의 개념에서는 다른 학문에서 출발한 것도 많이 있다. 예를 들면 유클리드 공리계에서는 점은 길이가 없는 선이라고 정의되어 있는데 후대 수학자들이 길이가 0인 점을 무한히 더하면 길이가 0보다 큰 선이 되는 것에 관심을 가진 것이 측도이론이 탄생한 배경이다. 물론 우리는 이제 그 질문의 답을 알고있다. (점들의)유한집합과 셀 수 있는 무한집합은 측도가 0이고 측도가 0보다 큰 집합은 셀 수 없는 무한집합이다.[6] 이 예로 유리수집합은 측도가 0이나 실수집합은 측도가 0보다 크다. 또한 타 분야에서 시작된 개념들이 해석학에서 발전된 것으로는 함수 해석학이 있는데, 함수 하나하나를 벡터로 본다는 시각은 선형대수학이 없었다면 나올 수 없었을 것이다.

고교에서 배웠던 미적분 이후로 미분방정식, 편미분 등 다양한 미적분을 다룬다.
말 그대로 미분방정식과 그 해법에 대해 연구하는 학문이다. 크게 상미분방정식과 편미분방정식으로 나누어지며, 수학의 여러 분야뿐 아니라 타 학문에도 매우 응용이 많이 되는 분야다. 특히 물리학의 경우에는 미분방정식이 없으면 성립조차 안 될 학문이라고 할 수 있다. 애초에 뉴턴의 운동 제2법칙부터가 미분방정식이다. 또한 미분방정식의 등장으로 출현할 수 있었던 대표적인 수학 분야로 푸앵카레가 창시한 동역학계를 들 수 있는데, 이름을 보면 물리학의 특정 분야라고 생각할 수 있으나 경제학, 생명과학 등에서도 많이 응용되는 분야다.

3.1.6. 수리 논리학

논리를 수학적 대상으로 환원하여 수학적 방법론으로 연구하며 그 응용인 집합론, 모델 이론, 카테고리 이론, 계산이론(혹은 재귀이론), 증명이론, 구성주의 수학 등을 포함한다. 현대 논리학의 정수라고 할 수 있고, 현대 논리학 그 자체라고도 할 수 있다. 논리학은 철학의 한 분과에 속하는데, 논리학에서는 이 학문을 기호 논리학이라고 부른다. 즉 사실상 같은 학문을 두고 철학에서는 기호 논리학, 수학에서는 수리 논리학이라고 하는 것이다. 수리 논리학은 수학의 한 분야로 언급되지만, 사실상 ZFC 집합론과 카테고리 이론 정도의 시스템 안에서 대부분이 이루어지는 수학에 비해 오만 가지 형식적 시스템이 등장하고 수학을 이루는 형식적 시스템은 물론 형식적 시스템 일반을 대상으로 삼아 연구하는 터라 실제 타 수학과의 관련은 의외로 매우 적다. 오히려 메타수학 쪽에 가까운 학문으로 수학보다는 언어학, 철학, 컴퓨터과학 등 타 분야와 관련을 더 깊이 갖고 연구하는 경우가 많다. 일반적인 수학과 공유하는 부분은 수리논리 쪽에서 특정 수학분야 자체를 응용 대상으로 삼아 전개해나가는 경우, 예를 들면 호모토피 논리 등의 경우가 아니라면 형식논리, 집합론, 범주론 기초정도 약간에 역사적인 관점에서의 수학기초론 정도가 전부이다. 상대적으로 타 수학 분야 와의 관련성이 적으며 이쪽 분야 자체도 매우 크고 넓기 때문에 이쪽 관련 전공을 택할 경우 최대한 빠르게 시작하는 것이 좋다. 다만 한국 대학에서는 이 분야의 전공 교수진이 거의 없기 때문에[7] 맛보기 정도의 커리큘럼만 제공되는 것이 전부다. 따라서 집합론이나 수리논리학을 전공하고 싶다면 해외로 유학을 가거나 전공을 포기하는 수밖에 없다.

3.2. 응용수학

여기에 나오지 않더라도 @@수학, 수리@@학, 계량@@학 등의 이름으로 여러가지 수학이 존재한다.

3.2.1. 이론전산학

일반적으로 이산수학의 한 범주로 넣는다. 특히 이산수학을 전산학적으로 다루는 경우에 가장 집중적으로 배우게 되는 것이 수치해석이다. 현대적인 컴퓨터를 비롯한 모든 연산장치는 유한 자릿수의 이산적인 수치만을 취급하기 때문에 그러한 것이다.

3.2.2. 수리통계학

일반적인 인식으로는 통계는 수학에서 가장 쓸모 있고 실용적인 것이라고 하지만, 통계를 배운 사람들은 알겠지만(어느 쪽에 중점을 두는 학교에서 배웠느냐가 문제가 되겠지만) 수학이 포함되지 않는 부분들이 많다. 이것은 물리에서 미분이나 텐서, 군 등의 수학적인 부분이 있지만 물리학이 수학의 하위 학문이 아닌 것과도 유사하다. 수리물리학이라고 수학과 물리학의 공통된 부분이 있듯이, 통계 중에서도 수학과 관련된 부분은 수리통계학(Mathematical statistics)라 하여 통계학과 수학의 공통된 학문으로 구분한다.[8] 통계학은 귀납적인 부분이 매우 많은 학문으로, 연역논증의 대표주자인 수학과는 별개로 보는 경우가 많다. 통계학에서 수학은 처음에 기초 부분을 배울 때는 어느 정도 필요하지만 그 이후에는 관련 분야를 선택하는 사람들만 수학적으로 더 파고 들어가 배우는 것이 일반적이다.

통계학의 분야로 넣기는 하는데 내용은 해석학에 가깝다. 이는 확률론이 기본적으로 측도론을 기반으로 하고 있기 때문. 특히 기하학적 확률을 다루면서 이런 특성이 두드러지게 나타난다.

16세기 유럽에서 발전된 것으로 꽤나 체계적이고 신비한 사실들이 많이 나와있다. 다만 정식 대학과정으로 배우진 않고 자연철학적인 부분을 좋아하는 마니아들이 공부하는 극히 드문 과목이고 국내에도 거의 알려져있지 않다.

3.2.3. 암호학

암호와 정수론은 뗄레야 뗄 수 없는 관계가 되어 버렸다.

정수론 전공 수학자들이 굶어 죽지 않게 만드는 지대한 공헌을 했다.

RSA 암호화, DES, AES 등등 수많은 현대적 암호화 알고리즘 중 수학적 기반 없이 설계된 것은 하나도 없다.

3.2.4. 제어이론

제어공학에서 해결하고자하는 문제들은, 사실 그 출처와 뿌리는 순수수학에서 관심을 갖는 문제들과는 전혀 상관이 없는 지극히 현실적이며 완전히 공학적인 여러 영역들[9]부터 비롯된 것들이다.

그러나, 시간이 흐르며 이러한 문제들이 해결되는 과정에서 엄밀한 순수수학의 지식들의 위력이 이 분야에서 굉장히 크다는것이 점차 증명되었고, 이에 따라 제어공학에서 수학의 비중은 점점 더 커져갔다. 그래서 제어공학의 발전에 많은 영향을 준 인물들 중에는 Kolmogorov, Norbert Wiener 와 같이 공학자라고 부르기는 힘든, 순수 수학자에 해당되는 인물들도 많다.

이러한 과정을 거쳐 현재는 결국 제어공학에서 다루는 문제들 중 많은 것들은 그 형태가 대다수의 공학들과는 달리, 마치 정보이론처럼, 수학에서 다루는 문제들과 유사하게 되어버렸다. 즉, 문제 해결에 필요한 현대 수학의 지식의 범위가 다른 필드에 비해 많다는 점도 특징적이지만 그와는 별개로, 해결해야되는 문제의 형태 자체가 어떤 수학적인 정리와 결과를 적용하여 연산을 통해 유의미한 해결책을 찾아내는 것이 아니라, 모델링을 통해 뽑아낸 어떤 수학적인 객체에 대해 수학적으로 연구를 하고, 그 과정에서 필요하다면 이전에 없던 새로운 수학적 개념도 정의하고, 성질을 찾아내기 위해 수학적으로 엄밀하게 증명을 해야하는 것이 문제 그 자체가 된 경우가 많아진 것이다. 이러한 연유로 이제는 아예 제어이론이라는 학문은 공학의 하위 분야가 아닌 응용수학의 범주에 포함된다는 관점으로 다뤄지기도 한다.

그렇기 때문에 현재는 학계에서 제어를 전공하여 연구한다라고 하면 일반적으로 두가지 경우로 나뉜다. 첫번째는 위에서 서술한 것과 같이 응용수학으로써의, 이론적인 학문인 제어이론에 대한 연구이고, 두번째는 그러한 이론적인 학문인 제어이론을 통해 나온 결과들을 특정 분야의 실제 산업[10]에 적용하고, 구현하는 것에 대해 연구하는, 제어공학에 대한 연구이다.[사실]

첫번째 유형의 랩실의 경우 회로, 동역학, 기계 지식 등 공학적 배경이 거의 없는 순수수학, 응용수학 출신의 졸업생들도 많이 지원을 한다.[12] 두번째 유형의 경우는 연구에서 수학이 차지하는 비중이 더 적으며, 문제에서 다루는 시스템 그 자체(전기회로나 동역학계, 전력 시스템 등등)에 대한 지식들과, 구현에 필요한 지식(MCU 코딩 등등)과 같은 공학적인 지식들이 더 중요하다.

읽다보면 느낌이 왔을 수도 있겠지만 현재 학계에서 연구하는 응용수학으로써의 제어이론은 현실의 산업에서 실제로 쓰이는 제어 기법들과 괴리가 꽤 커진 상태다. 현실에서는 대부분 PID 제어로 해결한다.

4. 다른 학문과의 관계

4.1. 자연과학

4.1.1. 물리학

수학과 물리학과의 관계는 매우 각별하다. 물리에 필요한 수학들은 보통 수리물리학을 통해서 공부하지만 수학과 수업을 듣거나 복수전공해버리는 학생도 있다.

4.1.2. 화학

물질의 결합 패턴을 분석하는데 수학을 쓴다. 관찰실험이 불가능할 정도로 방대하거나 작은 화학물질을 분석하는 계산화학, 분석화학 분야에서 수학을 많이 쓴다.

4.1.3. 지구과학

인류가 바다를 정복하며 발전시킨 측량기법, 농사의 체계화 과정에서 발전한 날씨/날짜 체계, 전쟁을 통해 발전시킨 지형 분석 등 수많은 지구과학의 성과들은 수학에 빚을 지고 있다. 현대적으론 GPS와 기상 예측 인공지능, 강우량 분석, 지진 예측, 해양과 지하수의 움직임 측정 등의 연구에서 수학을 사용한다.

4.1.4. 생물학

생물체의 패턴을 분석해 질병의 원인을 추론하기 위해 수학을 사용한다. 현대 의료보건 및 생물학 연구에서 통계학자뿐만 아니라 수학자를 채용하는 것은 드문 일이 아니다. 한 사람의 유전자 데이터만 해도 50Gb(기가 베이스, 염기쌍 개수가 오천만 개)에 달해 여러 사람의 유전자를 분석하는 일은 매우 어렵다. 그래서 고도의 수학 기법을 써서 데이터를 줄여야 한다. 이 분야에서 가장 유명한 것은 인간 게놈 프로젝트를 이끌었던 에릭 랜더인데, 이 사람은 의료보건 분야 출신이 아니라 수리과학 출신이다.

4.2. 공학

공학의 경우는 자기 필요한 부분에 한해 수학을 쓴다는 개념이지만 엔지니어링에 수학을 응용한다는 것이 차이일 뿐 논리전개 방식 자체는 수학의 방식 그대로다. 다만 복잡성에는 차이가 있다. 응용학문이 다 그렇지만 어떤 현상을 해석하고 프로세싱하기 위한 목적으로 수학을 사용하기 때문에 순수수학에서 사용하는 추상적인 수학을 사용하는 경우는 많지 않다.[13] 예를 들어 공과대학에서 배우는 과목인 공업수학수학과에서 배우는 과목인 해석학/미분방정식 등은 배우는 진도는 얼추 비슷할지 몰라도 각자의 전공에서 요구하는 수준과 뱡향에 맞게 최적화된 것이라 공과대학 학부생이 수학과에서 가르치는 과목들을 듣거나 수학과 학생이 공업수학을 듣는 것은 묘하게 차이가 많고 가르치는 방법도 다르다. 때문에 공대생들은 수학과생이 복수전공이나 타전공 대학원을 준비하는 차원에서 실전 적용능력을 기른답시고 공업수학 들으러 오면 학점헌터 아니냐며 츤츤거리기도 한다 카더라. 물론 공업수학과 수학과식 수학의 방향성 차이 때문에 꼭 수학과 학생들이 학점헌터가 되는 것은 아니다.

4.3. 의학, 약학, 수의학

의료계에서도 수학을 사용한다. 다만 의사가 일일이 계산하는 것이 아니라, 의료기기가 자동으로 계산하는 것이다.

먼저 CT(컴퓨터단층촬영)의 경우, 연립방정식을 사용한다. CT는 여러 각도에서 방사선을 투과하는데, 이때 복잡한 수학계산을 통해 인체의 각 부분에서 어느정도 흡수됐는지 측정값을 구해 인체를 단면 영상으로 재구성한다. 뼈와 근육 등 각 인체 부위의 밀도와 두께에 따라 방사선 투과량이 달라지기 때문이다. CT 촬영시 한 방향에서 방사선을 투과시킬 때마다 신체 각 부분을 미지수로 하는 방정식을 얻을 수 있고, 여러 방향에서 방사선을 투과시켜 연립방정식을 얻게 된다. 이후 컴퓨터가 복잡한 계산과정을 거쳐 연립방정식을 풀고, 이를 통해 인체 각 부위별 방사선 흡수치를 구함으로써 신체의 단면 영상을 얻는 게 CT 촬영의 원리다. 미분방정식은 감염병 발생시 확산 경로를 예측하는 데 활용된다. 동맥이나 정맥 등 혈관을 지나는 혈류 속도와 혈류량을 구하는 데도 미분방정식이 적용된다.

수학 모델을 동원하여 전염병의 확산경로를 추정하기도 한다. 유동인구, 가축, 도심 속 곤충 등 전염병의 매개체를 추정하고, 이들의 이동경로와 이동속도를 모델링하여 전염병의 확산을 대략적으로 시뮬레이션할 수 있다.

4.4. 심리과학

4.4.1. 신경과학

수학을 사용하는 신경과학 분야를 계산신경과학(computational neuroscience)이라 부른다. 쉽게 말해 뇌의 신경지도를 만드는 분야다. 그래프와 네트워크 이론을 통해 뇌신경의 연결 구조를 파악하고, 신경전달물질과 호르몬을 수학적으로 모델링하여, 어떤 화학물질이 얼마나 들어갔을 때 뇌의 어떤 부위에 어떤 변화를 일으키는지 시뮬레이션하는 것이 계산신경과학의 목표다.

4.4.2. 인지과학

인지과학은 컴퓨터의 소프트웨어가 하드웨어와 별도로 존재하는 현상에서 영감을 받아 탄생한 과학 분야다. 주로 표상의 형식, 인지과정의 계산이론, 인지 과정의 형식이론 등이 연구된다.

4.4.3. 심리학

수학을 사용하는 심리학 분야를 수리심리학(Mathematical psychology)이라 한다. 인지 모형을 만들어 의사결정을 모델링하거나, 심리 현상을 측정할 도구를 만들기도 한다.

4.5. 사회과학

4.5.1. 경제학

사회과학에서 수학을 가장 많이 쓰는 분야는 단연코 경제학이다. 학부 과정에선 경제수학경제통계학을 배워야 하고, 석사로 올라가면 선형대수학, 해석개론, 미분방정식, 실변수함수론, 수리통계 등을 이수하는 것이 일반적이다. 극단적인 경우는 모델링을 한답시고 물리학과 수업까지 듣는 경우도 있다. 그래서 수학과를 복수전공하는 경제학과 학생들도 종종 보인다.

4.5.2. 사회학

사회학도 이미 수학을 사용한 방법론을 사용하는 분야가 있다. 합리적 선택이론(rational choice theory) 내지는 일반화 이론(formal theory), 계량적 방법론(quant), 연결망 이론(network theory) 등을 활용하는 수리사회학이라는 영역이 존재한다. 중급 선형대수학통계학, 미분방정식 이상을 사용하는 모델링이다.

4.5.3. 인류학

인류학에서도 하위 분야인 체질인류학에서 통계 분석을 위해 수학을 동원하는 등 수학과 관련된 분야가 존재한다. 좀 더 응용에 가까운 예를 들자면 데이터의 분석을 위해 통계학을 동원하는 사례가 사회과학 전반에 매우 많다. 통계적 방법 문서 참고.

4.6. 인문학

4.6.1. 언어학

언어학은 문학과 달리 상당히 과학적인 방법론을 동원하는 분야로, 역시 경우에 따라서 어느 정도의 수학적 지식이 쓰일 수 있다. 물론, 그 분야는 음운론, 형태론, 통사론 등에 따라 적용 양상이 다르겠지만, 대체로 비(非)이공계 학문의 수학이 그렇듯, 통계학적인 내용을 쓰는 때가 대부분이다. 한 가지 예를 들자면, 음운론에서 음절의 이론상 가능한 가짓수를 따질 때, 순열 또는 조합을 응용할 수 있다. 음절 구조(CVC, CCVCC 등)에서 각 자리별로 가능한 자음의 종류 및 가짓수 등이 언어별로 다른데, 이를 따질 때 일일이 모든 음절을 따져서 하는 것은 매우 비효율적이므로 조합을 활용하고 이후 다른 영역을 적용하면 된다.

컴퓨터과학수학의 지분도 매우 크다.[14] 주로 이 분야와 직접적인 연관을 맺는 쪽은 음운론, 형태론, 통사론과 같이 언어의 구조적인 면을 따지는 분야이다.

4.6.2. 철학

수학-철학 관계 문서 참조.

4.6.3. 사학

심지어 수학과 전혀 관계없을 것처럼 보이는 사학마저도 방법론 단계에서 수학을 도입하는 경우가 많다. 경제사, 정치사 등을 연구할 때 각종 통계 수치를 분석하기 위해 수학을 동원하고 있으며, 전쟁 등 역사적 사건의 빈도를 수학적으로 계산해 일반화시키는 시도까지 존재하고 있다. http://ashvina.egloos.com/3946081 문과라도 수학과 거의 관련없는 분야는 사실 문학이 전부라고 보아도 과언이 아니다.

5. 대학 교과과정

  자세한 내용은 수학과 문서를 참고하십시오.

5.1. 학부

이 아래에 나열된 과목들은 수학과&수학교육과에서 모두 배운다.

  • 수학 비전공자들을 위한 과목

5.2. 대학원

6. 수학자

  자세한 내용은 수학자 문서를 참고하십시오.

7. 수학에 관련된 상

  • 필즈상 - 수학계에서 가장 권위가 높은 상이다.
  • 아벨상
  • 가우스상(Carl Friedrich Gauss Prize) - 공학·비즈니스 등 응용수학 부문에 업적을 남겼을 수학자에게 주는 상.
  • 울프상 수학부문
  • Chern Medal - 중국의 수학자 '천싱신'을 기려 만든 상으로, 기하학 분야 공적자에게 수여된다.[22]
  • 네반리나상(Rolf Nevanlinna Prize) - 수리정보과학 분야에 업적이 있는 수학자에게 수여되는 상.
  • 릴라바티상(Leelavati Prize) - 수학의 대중화에 공헌한 수학자에게 수여된다.

8. 수학회

9. 수험 과목으로서의 수학

10. 관련 문서

11. 관련 어록

논리학은 수학의 청년 시대이고, 수학은 논리학의 장년 시대이다. 출처1 출처2
- 버트런드 러셀

The fact that all Mathematics is Symbolic Logic is one of the greatest discoveries of our age(모든 수학이 기호논리학이라는 사실은 가장 위대한 발견들 중 하나다.)
- 버트런드 러셀

The mathematician's patterns, like the painter's or the poet's, must be beautiful; the ideas, like the colors or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is the first test; there is no permanent place in the world for ugly mathematics.(수학자의 패턴은 화가나 시인들의 작품처럼 아름다워야한다. 색체와 단어처럼 수학자의 아이디어도 조화로운 방식으로 어울려야 한다. 수학에서 가장 먼저 살펴봐야 할 것은 아름다움이다. 왜냐하면 이 세상에 추한 모습의 수학이 영원히 자리잡을 곳이란 존재하지 않는다) - 고드프리 해럴드 하디

Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit(수학의 본질은 그 자유로움에 있다).
- 게오르크 칸토어(Georg Cantor)

수학에는 왕도가 없다.[23]
- 유클리드

수학은 실로 굉장한 학문이네. 그리고 여러모로 우리에게 유용하네. 다만 장사꾼의 심정으로서가 아니라 철학자의 정신으로 숭상하게 되면 말이네.
- 소크라테스[24]

먼저 수학을 철저히 공부하지 않고는 아무도 하느님과 인간의 일들을 인식할 수 없습니다.
- 히포의 아우구스티누스

기하학(수학)을 모르는 자는 나의 아카데미아에 들어올 생각하지마시오.
- 플라톤

가우스는 수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이라 칭한 바 있다. 그러나 여기서 과학이란 독일어 단어 Wissenschaft를 번역한 것인데 Wissenschaft는 이공계열만이 아닌 학문 전반을 통칭한다. 즉, “수학은 학문의 여왕, 정수론은 수학의 여왕”이란 문장이다.

세종대왕은 과학이나 역법을 연구하기 위해 수학을 직접 공부하기도 했는데 수학을 공부하면서 “수학은 왕이 배울 학문이 아닐지도 모르나 이 또한 성인이 지정한 것이므로 알고자 한다”라는 을 남겼다고 한다.

칸토어는 “수학의 본질은 자유다”라는 아주 유명한 말을 남겼다. 수학을 연구하는 방향은 어느 방향으로 연구해도 수학이 될 수 있다는 뜻 정도다.[25]

한편 수학의 황제 힐베르트는 자신의 연설에서 “제가 살아있는 동안 리만 가설은 증명될 것이며 페르마의 마지막 정리는 여기 앉아계신 관중들의 아이들이 죽기 전에 증명될 것이고 2^{\sqrt{2}} 초월수인지 아닌지는 우리의 몇 세대가 지나더라도 증명이 되긴 어려울 것입니다”라는 말을 남겼다. 그러나 이 예상은 ‘정반대로’ 진행됐는데 마지막 문제는 힐베르트가 죽기 전인 1930년에 증명되었고[26], 페르마의 마지막 정리는 1995년에 증명되었다.[27] 그리고 끝판왕 리만 가설은 아직 증명되지 않았다.

12. 관련 캐릭터

천재적인 면이나 괴짜적인 면을 부각시키려는 의도 정도로 픽션상에서는 캐릭터의 취미라기보다는 달고 사는 것 정도로 종종 나오는 경우도 있다. 아래는 그 예시.

수학교사 캐릭터에 관해서는 수학교사 문서 참조.


  1. [1] 실제로 해석학, 위상수학, 수리 논리학 같은 걸 보면 '이게 숫자랑 무슨 관련이 있지?' 하고 혼란을 겪을 수 있다. 그나마 해석학은 숫자를 은근히 보는 것에 비해, 위상수학과 수리논리학은 숫자는 거의 볼 수 없고 오히려 국어과, 그 중에서 작문과 비슷하다는 느낌이 강하다.
  2. [2] 서양 일반인들 사이에서는 '산수'와 '수학' 간의 영역 구분(상하위)가 명확하다. 반면에 동양 일반인들 사이에서는 '수학=산수'로 동일시해버린다. 산수는 수학의 수많은 영역 중 하나일 뿐이라는 걸 알아둘 필요가 있다.
  3. [예] 3.1 새 이름(독수리가 그 일종), 고치다(수리하다), 수리수문학(물과 강둑에 대해서 다루는 학문)
  4. [4] 이러한 연구 학문을 수리철학이나 수학기초론이라 하는데, 관련 논문들만 해도 Philosophy of Mathematics pdf로 검색하면 엄청나게 나오니 참고할 것.
  5. [5] curve(곡선), surface(곡면), polynomial equation(다항방정식으로 나타낼 수 있는 곡선, 곡면 등) 등이 이에 속한다.
  6. [6] 역은 성립하지 않는다. 칸토어 집합은 셀 수 없는 무한집합이지만 측도가 0이다.
  7. [7] 그나마 icm 최초의 동양인 수리논리학분야 초청강연자인 연세대학교 수학과 김병한 교수의 귀국과 한국수리논리학회의 발전 등으로 인해 조금 숨통이 트여가고 있긴 하다.
  8. [8] 비슷한 예로 심리학도 이러한 논란이 많은 학문인데 한국에서는 문과로 분류하지만 뇌의학 같은 분야와의 관계를 많이 집어넣어 이과로 분류하는 국가/대학도 많다. 아니 한국에서도 국립중앙도서관에서는 심리학 도서가 자연과학 서가에 꽂혀있다. 통계학과가 문과로 편제된 고려대학교의 도서관에서도 통계학 서적을 자연과학 서적으로 분류한다.
  9. [9] 제임스 와트의 원심 조속기, Harold Black의 OP amp에 네거티브 피드백을 가한 시도, 항공공학, 기타 등등.
  10. [10] 로봇, 항공공학, 전력 스마트 그리드 등
  11. [사실] 11.1 제어공학과 제어이론은 이 두 단어의 의미와 차이가 엄밀하고 표준적으로 잘 정의된 단어는 아니다. 그래도 일반적인 용례를 확인하고싶다면 위키피디아의 Control Engineering과 Control Theory 항목을 참고하도록 하자.
  12. [12] 사실 이쯤되면 이러한 연구에서 다루는 시스템들은 실제 세상에서 접하기 어려운 가상의 것들에 가까워지는 경우가 많다.
  13. [13] 그러나 기존의 기술보다 복잡도를 증가시켜서 성능 등을 향상시키는 게 공학의 일반적인 연구 방향이기 때문에, 날이 갈수록 공학에서 사용하는 수학의 복잡도가 증가하고 있다.
  14. [14] 추상대수학, 오토마타 이론 등이 유용하게 쓰인다.
  15. [15] 개론.
  16. [16] 개론
  17. [17] 개론. 수박 겉핥기 식으로 건드린다.
  18. [18] 개론
  19. [19] 말만 거창하게 써놨지 실제로는 대학원 대수학의 개론 과목이다.
  20. [20] 수학과수학교육과에선 더 치밀하게 배운다. 물론 수준은 개론이지만. 대학원으로 들어가면 그래프, 조합등 여러가지 분야로 나눠가게 된다.
  21. [21] 수학과수학교육과에선 더 치밀하게 배운다. 당연히 개론.
  22. [22] 참고로 중국 내에서만 수상하는 Chern Prize 라는 상도 있다.
  23. [23] 본래는 "기하학에 왕도가 없다"이다.
  24. [24] 플라톤의 <국가론>에서 소크라테스가 한 말이므로 플라톤의 생각으로 봐도 무방하다.
  25. [25] 아이러니한 사실은 어떠한 수학을 시작하기 위해서는 먼저 공리가 필요한데 이는 ‘제한’ 이 필요하다는 사실과 비슷하다. 즉 수학의 분야를 추가시키려면 제한을 추가해야 한다는 소리. 더욱 아이러니한 건 이 제한들을 조금만 바꿔도 또 다른 수학이 될 수 있으므로 제한을 가하는 방식 자체의 자유도 존재한다. 즉, 여기서도 칸토어의 명언이 적용된다. 규범 하에서의 자유라고 이해할 수 있다. 현실에서도 꼴리는 대로만 살면 자유가 아니라 방종이라고들 하잖는가. 규범 아래에서 논리성만 보장되면 무엇이든 가능한데 규범부터가 근본적으로 마음대로 정할 수 있는 것이므로.
  26. [26] 더 일반적인 경우인 Gelfond–Schneider theorem은 1934년에 증명됨.
  27. [27] 갓난아이 관중이 있었다면 흰머리 훌훌 날리는 할머니, 할아버지가 되었을 때 증명 소식을 들었을 수도 있다.
  28. [28] 수학에 관한 천재라고 소개되며 대외적인 직업은 수학 교수였다.
  29. [29] 소설 형태의 수학 교양서인 만큼 등장인물 대다수가 상당한 수준의 수학 실력을 보유하고 있다.
  30. [30] 수학 영재라고 소개되고 작중에서도 수학적으로 대단한 활약을 하지만... 실제로는 말이 안 된다. 문서 참조.
  31. [31] 일단 직업은 수학자지만 별 관련은 없다.
  32. [32] 일본 계산콘테스트 우승자, 공 각도계산부터 선수가 멈출 수 있는 위치까지 계산한다.(...)
  33. [33] 수학은 신의 언어라며 칭송한다. 실제로 작중에 잠깐 지나가는 장면을 보면 정말 상당한 실력을 보유한듯.

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