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1. 개요
2. 쿨롱 법칙
2.1. 개요
2.2. 상세
3. 전기장을 구하는 방법
3.1. 쿨롱 법칙
3.1.1. 예제
3.1.1.1. 예제 1
3.1.1.2. 예제 2
4. 전기력선과 전기 선속
4.1. 심화 : 전기력선을 기술하는 곡선
6. 전기 쌍극자의 전기장
7. 전기장의 근원
8. 전기장의 회전
9. 심화
9.1. 전기장의 경계 조건
9.2. 정전기적 평형 상태의 도체
9.3. 도체가 받는 힘
9.4. 안정 평형점의 존재
10. 전기 변위장 (Electric displacement field)
11. 비보존적 전기장의 존재
12. 관련 문서

1. 개요

Electric field ·

전기장 혹은 전계는 단위 시험 전하 즉, [math(+1 \, \textrm{C})]의 시험 전하(test charge)가 원천 전하(source charge)에 의해 받는 전기력을 뜻한다. 여기서 '시험 전하'는 전기장을 받는 전하, '원천 전하'는 '시험 전하'를 제외한 전기장을 만드는 전하를 말한다. 기호로는 일반적으로 [math(\mathbf{E})]로 나타낸다.

따라서 시험 전하의 전하량이 [math(q)]라 하며, 이 전하가 받는 전기장을 [math(\mathbf{E})]라 하면, 시험 전하가 받는 전기력 [math(\mathbf{F})]와의 관계는 아래와 같다.


[math(\mathbf{F}=q \mathbf{E})]

전기력을 시험 전하의 전하량으로 나눈 물리량이므로 단위는 [math(\textrm{N}/\textrm{C})]이며, 혹은 [math(\mathrm{V/m} )]를 쓰기도 한다.

기본적으로 전기장은 벡터며, 공간상에 분포하는 벡터장(Vector field)이다. 따라서 이를 제대로 분석하려면, 벡터해석학 지식이 요하게 된다.

이 문서에선 별 말이 없는 이상 정전기학에서의 전기장을 다룬다.

2. 쿨롱 법칙

2.1. 개요

전기장을 알려면 우선 전기력에 대해서 알아볼 필요가 있다.

쿨롱 법칙(Coulomb's law)1784년프랑스 물리학자이자 육군 대령인 쿨롱(Charles-Augustin de Coulomb; 1736~1806)에 의해 발견되었으며, 전자기학의 토대를 마련한 법칙이다.

쿨롱법칙에 관해선 쿨롱은 뉴턴(Sir Isaac Newton; 1643~1727)이 비틀림 저울을 사용하여, 두 질량 사이에 작용하는 만유인력을 밝힌 것에 대해 본인 또한 업적을 남기기 위해 두 전하 사이의 작용하는 힘을 같은 방법으로 밝혀냈으나, 뉴턴이 먼저 발표한 만유인력 법칙과 같은 형태의 역제곱 법칙이 만들어졌고, 이에 쿨롱은 대단히 실망했다고 하는 일화가 유명하다.

본론으로 넘아가서, '두 전하 [math(q_{1})], [math(q_{2})]가 서로 [math(r)]의 거리만큼 떨어져있을 때, 두 전하가 받는 힘의 크기 즉, 전기력의 크기는 아래와 같이 주어지게 된다'는 것이 쿨롱 법칙이다.


[math(\displaystyle F =\left| \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q_{1}q_{2} }{r^{2}} \right|\,\, [\textrm{N}] )]

이때, [math(\epsilon_{0})]는 진공에서의 유전율을 말하며, 보통은 앞의 상수를


[math( \displaystyle \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \equiv k_{e} )]

로 정의하고, 이 상수를 쿨롱 상수라 하는데, [math( k_{e}=8.99 \times 10^{9} \, \textrm{N} \cdot \textrm{m}^{2} / \textrm{C}^{2} )]로 알려져 있다.

이때, 두 전하의 부호가 같다면, 두 전하 사이를 잇는 직선 상에서 척력이 작용하고, 다르다면, 인력이 작용하게 된다.

쿨롱 법칙을 갓 배운 중고등학생들이 주의해야할 점은 위의 공식은 크기만 나타낼 뿐, 방향에 대한 정보는 나타나있지 않은 점을 인지하여야 한다. 따라서 일부 학생의 경우 전하량 부분에 부호까지 포함한 값을 넣고, 부호에 따라 힘의 방향을 결정짓는데 그렇게 하면, 틀릴 가능성이 높다. 그렇기 때문에 위의 공식에서도 절댓값 표시를 명확하게 해준 것이며, 위 공식을 이용해 전기력 크기를 구한 후 힘의 방향을 고려해야 하는 점을 다시 한번 강조한다.

2.2. 상세

위에서 지적했듯, 위의 공식은 방향에 대한 정보를 명확히 주지 못한다는 단점이 있고, 엄연히 힘은 벡터 물리량이다. 따라서 쿨롱 법칙을 벡터로 표현하여 조건만 대입하면, 크기, 방향 모두 알아낼 수 있다.

위와 같은 상황을 고려하자. 이때, 우리가 전기력 혹은 전기장 등 어떤 전하가 받는 물리량을 계산해야 하는 '시험 전하'를 [math(q)]라 하고, 시험전하가 받는 물리량에 영향을 주는 '원천 전하'[1]를 [math(q ')]이라 하자.[2]

이때, 시험 전하를 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r})], 원천 전하를 가리키는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r'})]이라 하자. 시험 전하가 원천 전하에 의해 받는 전기력은 아래와 같이 주어진다.


[math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r}) =\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{qq' (\mathbf{r-r'}) }{ \left| \mathbf{r-r'} \right|^{3} } \,\, [\textrm{N}])]

실제 상황에서 원천 전하는 한 개가 아닌 다량이 존재할 수 있다. 원천 전하가 [math(N)]개 존재할 때, 시험 전하가 받는 전기력은 이들의 벡터합으로 주어지므로 다음과 같이 표현할 수 있다.


[math(\displaystyle \mathbf{F} (\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{qq'_{i} (\mathbf{r-r'}_{i}) }{ \left| \mathbf{r-r'}_{i} \right|^{3} } \,\, [\textrm{N}])]

이때, [math(q ' _{i})]는 [math(i)]번째 원천 전하의 전하량이며, [math(\mathbf{r'}_{i})]는 [math(i)]번째 원천 전하까지의 위치 벡터를 뜻한다.

이번에는 그림과 같이 연속체에 의해 받는 전기력을 구해보자.

연속체의 경우 전하가 연속적으로 존재하기 때문에 밀도의 개념을 도입하여야 한다. 이때, 다음과 같이 [math(\mathbf{r'})]에서의 전하 밀도(Charge density) [math(\rho(\mathbf{r'}))]를 정의한다.


[math(\displaystyle \rho(\mathbf{r'}) \equiv \frac{dq'}{dV '} \rightarrow dq' = \rho (\mathbf{r'}) \, dV')]

이때, 미소 원천 전하 [math(d q ')]가 받는 미소 힘 [math(d\mathbf{F})]은


[math(\displaystyle d \mathbf{F}(\mathbf{r}) =\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{ dq ' (\mathbf{r-r'}) }{ \left| \mathbf{r-r'} \right|^{3} }=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{ \rho(\mathbf{r'}) (\mathbf{r-r'}) }{ \left| \mathbf{r-r'} \right|^{3} } \,d V ')]

이므로 연속체에 의해 시험 전하가 받는 힘은


[math(\displaystyle \mathbf{F}(\mathbf{r}) =\int d \mathbf{F} (\mathbf{r}) =\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}} \iiint \frac{\rho (\mathbf{r'})(\mathbf{r-r'}) }{ \left| \mathbf{r-r'} \right|^{3} } \, dV')]

가 된다.

위에서는 부피에 전하가 분포할 때를 다뤘고, 면이나 선에 전하가 분포할 수도 있다. 이 경우는 각각 면전하 밀도(Surface charge density) [math(\sigma(\mathbf{r'}) \equiv dq'/da')], 선전하 밀도(Linear charge density) [math(\lambda(\mathbf{r'}) \equiv dq'/dl')]을 사용하면 된다.

3. 전기장을 구하는 방법

3.1. 쿨롱 법칙

가장 보편적으로 알려진 것은 쿨롱 법칙을 이용하는 것이다. 이미 여러 경우에 대해 시험 전하가 받는 전기력을 구하는 법과 각 항의 의미는 위 문단에서 다뤘으므로 여기서는 맨 위에서 전기장의 정의에 따라 여러 경우의 전기장의 결과만을 적는다.

  • 단일 원천 전하


[math( \displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}) =\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{q' (\mathbf{r-r'}) }{ \left| \mathbf{r-r'} \right|^{3}})]

  • 원천 전하가 다량 존재하는 경우


[math(\displaystyle \mathbf{E} (\mathbf{r})=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \sum_{i=1}^{N} \frac{q'_{i} (\mathbf{r-r'}_{i}) }{ \left| \mathbf{r-r'}_{i} \right|^{3} })]

  • 연속체


[math(\displaystyle \mathbf{E}(\mathbf{r}) =\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \iiint \frac{\rho (\mathbf{r'})(\mathbf{r-r'}) }{ \left| \mathbf{r-r'} \right|^{3} } \,

dV' )]

고등학교까지는 단순한 상황에 대해 쿨롱 법칙을 이용하여 전기장을 구한다. 다만, 이 방법은 대학 진학 후에도 전자기학 공부에 토대가 되므로 잘 익혀두는 것이 좋다.

3.1.1. 예제

3.1.1.1. 예제 1

[문제]


아래의 그림과 같이 진공 공간의 [math(x)]축 위 [math(0 \leq x \leq L)] 영역 위에 선전하밀도 [math(\lambda = \alpha (L-x) )]로 대전된 막대가 놓여져있다. 이때, 점 [math( \mathrm{P}(2L,\,0) )]위의 전기장을 구하시오.(단, [math(\alpha)]는 상수이다.)


막대의 미소 전하 [math(dq=\lambda \, dx')]의 위치를 [math( \mathbf{r'}=x' \hat{\mathbf{x}} )][3]로 잡을 수 있고, 전기장을 구하는 영역의 위치 벡터는 [math(\mathbf{r}=2L\hat{\mathbf{x}})]인 것을 이용하면, 점 [math(\mathrm{P})]의 미소 전기장은


[math(\displaystyle d \mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{\alpha(L-x)}{| (2L-x')\hat{\mathbf{x}} |^{3} }[(2L-x')\hat{\mathbf{x}}]\,dx' )]

따라서 우리는 [math(0 \leq x' \leq L)]영역의 적분을 수행함으로써, 구하는 영역의 전기장을 얻는다:


[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=\frac{\alpha}{4 \pi \epsilon_{0}} \hat{\mathbf{x}} \int_{0}^{L}\frac{L-x'}{ (2L-x')^{2} }\,dx' \\ &=\frac{\alpha}{4 \pi \epsilon_{0}} \left[ \ln{2}-\frac{1}{2} \right] \hat{\mathbf{x}} \end{aligned} )]

3.1.1.2. 예제 2

[문제]


그림과 같이 진공 공간의 [math(xy)]평면 위에 중심이 원점이며, 반지름 [math(R)]이고, 균일한 표면 전하 밀도 [math(\sigma)]로 대전된 원판이 있다. [math(z)]축 위의 한 점 [math(\mathrm{P})] 위에서 전기장을 구하여라.


이 문제를 푸는 데에 있어, 가장 유용한 원통 좌표계를 사용한다.

원판 위의 미소 전하가 있는 위치 벡터를 [math(\mathbf{r'}=\rho' \hat{\boldsymbol{\rho}})]로 놓고, 미소 전하 [math( \sigma \, da'=\sigma \rho' \, d \rho' d \phi' )]로 놓을 수 있다. 또한 전기장을 구하는 영역에 대한 위치 벡터 [math(\mathbf{r}=z \hat{\mathbf{z}})]임을 아므로, 구하는 영역의 미소 전기장은


[math(\displaystyle d\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{ \sigma \rho' \, d \rho' d \phi' }{| z \hat{\mathbf{z}}-\rho' \hat{\boldsymbol{\rho}} |^{3}} (z \hat{\mathbf{z}}-\rho' \hat{\boldsymbol{\rho}}) )]

이 적분을 [math( 0 \leq \rho' \leq R )], [math( 0 \leq \phi' \leq 2\pi )]에 대해서 수행하면 된다. 그러나, [math(\hat{\boldsymbol{\rho}})]는 적분의 기저 벡터로 부적합하므로 이것을 다시 직교 좌표로 바꿔 적분을 해야한다. 즉, 우리는


[math(\displaystyle d\mathbf{E}=\frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \frac{ \sigma \rho' \, d \rho' d \phi' }{| z \hat{\mathbf{z}}-\rho' \hat{\boldsymbol{\rho}} |^{3}} [z \hat{\mathbf{z}}-\rho' (\cos{\phi} \hat{\mathbf{x}}+\sin{\phi} \hat{\mathbf{y}} ) ] )]

를 적분해줘야 하는 것이다. 그런데, [math(\phi)]대칭성에 따라 [math(x)], [math(y)] 성분은 적분 후 상쇄될 것이므로 우리는 최종적으로


[math(\displaystyle \mathbf{E}=\frac{\sigma z}{4 \pi \epsilon_{0}} \hat{\mathbf{z}} \int_{0}^{R} \frac{ \rho' }{ (z^{2}+\rho'^{2})^{3/2} } \, d \rho' \int_{0}^{2\pi} d \phi' )]

만 계산해주면 되는 것이다. 따라서 이 적분의 결과로서 우리는 다음의 구하는 전기장을 얻는다:


[math(\displaystyle \mathbf{E}= \frac{\sigma }{2 \epsilon_{0}} \left[ \frac{z}{|z|}-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2} }} \right] \hat{\mathbf{z}} )]

만약 우리가 [math(R \to \infty)]를 고려한다면, 이것은 곧 표면 전하 밀도 [math(\sigma)]로 대전된 무한한 판의 전기장을 구하는 문제와 동치가 된다. 따라서 우리는 [math(R \to \infty)]일 때,


[math(\displaystyle \displaystyle \mathbf{E} \to \frac{\sigma }{2 \epsilon_{0}} \frac{\mathbf{z}}{|z|} )]

를 얻는데, 이것은 가우스 법칙 등으로 구한 것과 일치된 결과를 얻는다. 이 예제와 결과를 비교해보라.

3.2. 가우스 법칙

  자세한 내용은 가우스 법칙 문서를 참고하십시오.

3.3. 편미분 방정식 이용

전기 퍼텐셜과 전기장의 관계는


[math(\displaystyle \displaystyle \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi )]

라 밝혔고, 가우스 법칙 문서에서


[math(\displaystyle \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} )]

이었으므로 두 식을 결합하면,


[math(\displaystyle \displaystyle {\nabla}^{2} \Phi = -\frac{\rho}{\epsilon_{0}} )]

이 된다. 이때, 전하가 없는 영역은 전하 밀도 [math(\rho=0)]이므로


[math(\displaystyle {\nabla}^{2} \Phi = 0 )]

이 되는데, 이런 편미분 방정식라플라스 방정식이라 한다. 따라서 이 방정식을 풀면, 전하가 존재하지 않는 영역의 전기 퍼텐셜 분포를 알 수 있고,


[math(\displaystyle \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi )]

를 사용하면, 원하는 영역에서의 전기장을 구할 수 있다. 또한, 전하 분포가 존재하는 영역에서는


[math(\displaystyle {\nabla}^{2} \Phi = -\frac{\rho}{\epsilon_{0}} )]

으로 주어지고, 이것은 푸아송 방정식이다. 이 방정식을 풀면 전하가 있는 영역에서도 전기 퍼텐셜의 분포를 알 수 있으며,


[math(\displaystyle \mathbf{E} = -\boldsymbol{\nabla} \Phi )]

4. 전기력선과 전기 선속

단위 시험 전하가 받는 전기장의 방향을 연속적으로 연결한 것을 전기력선이라 한다. 이때, 전기력선은 다음과 같은 특성이 있다.

  • 전기력선은 교차하거나 끊어지지 않는다.
  • 전기력선의 접선 방향은 단위 시험 전하가 받는 전기력의 방향이다.
  • 전기력선의 밀도는 전기장의 세기에 비례한다.
  • 전기력선의 개수는 전하량에 비례한다.
  • [math((+))]전하에서 나와서 [math((-))]전하에 들어가는 양상을 보인다.

몇몇 경우에 대한 전기력선은 다음과 같다.

[math((+))]전하

[math((-))]전하

동일한 전하량, 다른 부호의 두 전하

동일한 전하량, 같은 부호의 두 전하

자기장과 같이 선속(Flux)의 개념을 도입할 수 있는데, 어떤 면적을 통과하는 전기력선 개수를 전기 선속이라하고, 기호로 [math(\Phi_{E})]로 나타내며, 다음과 같이 정의된다.


[math( \displaystyle \Phi_{E} \equiv \iint \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} )]

여기서 [math(\mathbf{E})]는 미소 면적 [math(da)]에 지나가는 전기장, [math(d \mathbf{a})]는 면적의 미소 넓이 벡터이며, 크기는 [math(da)], 방향은 면에 수직한 방향으로 정의된다.

특히, 폐곡면에 대한 전기 선속은 가우스 법칙에 따라 폐곡면 내부에 있는 총 전하 [math( \displaystyle q_{\textrm{enc}} )]에 비례하게 된다.


[math( \displaystyle \Phi_{E} \equiv \oiint{ \mathbf{ E } \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{ a } } = \dfrac{ q_{\textrm{enc} } }{ \epsilon_{0} } )]

여기서 [math(\epsilon_{0})]은 진공에 대한 유전율이며, 자세한 것은 가우스 법칙 문서를 참조한다.

4.1. 심화 : 전기력선을 기술하는 곡선

우리는 심화적인 분석으로 전기력선의 수학적 분석을 하고자 한다. 우리가 임의의 공간상의 곡선 [math(\mathbf{r}(t))]가 주어졌다고 가정하자. [math(t)]는 매개변수임에 유의한다. 이 곡선이 전기력선이 되려는 필요조건을 구하는 것이 이 문단의 목표임을 미리 밝힌다.

우리는 [math(\mathbf{r}(t))]가 미분가능하다면, 곡선 상의 단위 접선 벡터를 생각할 수 있다. 이 단위 접벡터가 그 지점에서의 전기장과 평행하다면, 그 곡선은 전기력선이라 말할 수 있을 것이다. 미분기하학적으로 곡선상의 단위 접선 벡터 [math(\mathbf{T})]는 다음과 같이 구할 수 있다.


[math(\displaystyle \mathbf{T}=\frac{d \mathbf{r}(t)}{ds})]

[math(ds)]는 [math(t)], [math(t+dt)] 사이의 곡선의 길이이다. 따라서 우리는 맨 처음의 조건에 의해서


[math(\displaystyle \frac{d \mathbf{r}}{ds}=\alpha \mathbf{E} )]

이다. 이때, [math(\alpha)]는 상수이다. 그런데, 우리가 윗 식을 각 성분에 따라 분리한다면,


[math(\displaystyle \frac{dr_{i}}{E_{i}}=\mathrm{const.} )]

의 식을 얻을 수 있다. 예컨데, 직교 좌표계에서 우리가 생각한다면,


[math(\displaystyle \frac{dx}{E_{x}}=\frac{dy}{E_{y}}=\frac{dz}{E_{z}} )]

가 될 것이다. 따라서 위의 조건이 임의의 곡선이 전기력선이 될 필요조건이다.

우리는 위의 조건을 이용하여, 단일 점전하의 전기력선을 구해보도록 하자. 단일 점전하의 전기장은


[math(\displaystyle \mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \hat{\mathbf{r}} )]

이므로 [math(r^2=x^2+y^2+z^2)]와 [math(\hat{\mathbf{r}}=(x \hat{\mathbf{x}}+y \hat{\mathbf{y}}+z \hat{\mathbf{y}})/r)]임을 이용하고, 우리가 만약 [math(xy)]평면만을 생각한다면, 다음을 얻는다.


[math(\displaystyle \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y} \, \rightarrow \, \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x} )]

위의 방정식의 해는 [math(y=cx)]로 결국 원점을 지나는 직선이 된다. 따라서 잘 구해졌음을 알 수 있다.

5. 전기 퍼텐셜

정전기학에서 다루는 전기장은 보존장이므로, 퍼텐셜의 개념을 도입할 수 있다. 이때, 전기 퍼텐셜(전위) [math(\Phi)]는 전기장 [math(\mathbf{E})]와 아래와 같은 관계에 있다.


[math(\displaystyle\mathbf{E}= -\boldsymbol{\nabla} \Phi )]

자세한 내용은 전기 퍼텐셜 문서를 참고한다.

6. 전기 쌍극자의 전기장

  자세한 내용은 전기 쌍극자 모멘트 문서의 해당 부분을 참고하십시오.

7. 전기장의 근원

가우스 법칙 문서에서 나왔듯, 인류가 관측한 전기장의 모습은 아래와 같은 두 식으로 서술 가능하다.


[math( \displaystyle \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{E}&=\frac{\rho}{\epsilon_{0}} \\ \displaystyle \oiint \, \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a}&=\frac{q_{\textrm{enc} }}{\epsilon_{0}} \end{aligned} )]

이 식은 전기장의 근원이 전하임을 말해주며, 폐곡면을 뚫고나오는 선속이 존재하므로 전기장은 전하를 근원으로 부터 뚫고나오는 양상을 보임을 알 수 있고, 각 극이 단독으로 존재할 수 있음을 의미한다. 더 나아가 다른 전하와 상호작용함을 유추할 수 있다.

자세한 것은 이곳에 설명돼있다.

8. 전기장의 회전

기본적으로 정전기학의 전기장은 보존장이다. 따라서 전기장 영역에서 폐곡선 위에서 한 일은 [math(0)]이 된다. 즉,


[math( \displaystyle \oint \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} = 0 )]

이 성립한다. 여기서 [math( \displaystyle d \mathbf{l} )]은 폐곡선 위의 미소 길이 벡터이다. 이때, 스토크스 정리를 사용하면,


[math( \displaystyle \oiint (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{a} = 0 )]

이상에서


[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = 0 )]

의 결과를 얻는다.

다만, 전기역학으로 넘어가면, 전기장의 회전은 곧 자기장의 발생과 관련된 것이라는 것을 얻는다. 자세한 내용은 패러데이 법칙 문서와 맥스웰 방정식 문서를 참고할 것을 권한다.

9. 심화

9.1. 전기장의 경계 조건

그림과 같이 서로 다른 매질 1, 2의 경계면을 고려하자. 경계면의 표면 전하 밀도를 [math(\sigma)]라 하고, 매질 1, 2에서의 전기장을 각각 [math(\mathbf{E_{1}})], [math(\mathbf{E_{2}})]라 놓자. 이때, 밑면의 면적이 [math(A)](원통의 면적 또한 매우 작은 경우를 고려한다.)이고, 윗면의 면의 법벡터가 [math(\hat{\mathbf{n}})]인 원통을 가우스 면이라고 잡자. 이때, 매질 I에서 II으로 향하면서, 경계면에 수직한 벡터를 [math(\hat{\mathbf{n}})]이다.

이때, 원통의 높이 [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 가우스 면 내부의 전하는 경계면의 표면 전하 밀도에 의한 전하만 남는다. 즉, [math(q_{\textrm{enc}}=\sigma A)]이다.

따라서 가우스 법칙을 적용하면,


[math( \displaystyle \oint{ \mathbf{ E } \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{ a } } = \frac{ \sigma A }{ \epsilon_{0} } )]

원통의 높이 [math(h \rightarrow 0)]이므로 옆면에 대한 선속은 거의 상쇄되므로


[math( \displaystyle \oint{ \mathbf{ E } \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{ a } } = \left[ \mathbf{E_{2}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{E_{1}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}\right]A )]

이상에서 다음이 성립한다.


[math( \displaystyle \mathbf{E_{2}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}- \mathbf{E_{1}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}=\frac{ \sigma }{ \epsilon_{0} } )]

따라서 전기장의 수직한 성분은 경계면을 지날 때 경계면에 표면 전하 밀도가 존재한다면, 불연속이 생긴다는 것을 알 수 있다. 또한, 다음을 고려하자.

윗 문단에서 밝혔듯, 정전기학에서 전기장은 보존장이다. 따라서 폐곡면에 대한 일은 없다. 따라서 위와 같은 경로를 생각하자. 따라서 위의 경로를 따라 전기장의 선적분 값은 [math( \displaystyle 0)]이다. 즉,


[math( \displaystyle \oint \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} = 0 )]

이고, 마찬가지로 세로의 길이 [math(h \rightarrow 0)]의 극한을 취하면, 가로(경계면과 평행한 경로)에 해당하는 경로만 선적분에 기여한다. 따라서


[math( \displaystyle \oint \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d \mathbf{l} = \left[ \mathbf{E_{2}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}} - \mathbf{E_{1}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}} \right]l )]

이다. [math( \displaystyle \hat{\mathbf{t}})]는 경계면에 접하는 벡터이다. 이상에서 다음을 얻는다.


[math( \displaystyle \mathbf{E_{1}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}= \mathbf{E_{2}} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}} )]

따라서 전기장의 경계면과 접하는 성분은 경계면에 연속이라는 것을 얻는다.

9.2. 정전기적 평형 상태의 도체

도체에는 통상적으로 어느 원자에도 속박되지 않은 자유전자가 존재한다고 믿는다. 따라서 도체 내부에 전기장이 형성되면 이 전기장을 상쇄시키려 전하의 흐름 즉, 전류가 발생한다. 그런데 우리는 정전기적 평형 상태의 도체를 고려하므로 전류는 이 고려에 모순되는 논의이다. 따라서 도체 내부에 지속적인 전기장은 존재할 수 없다. 지속적인 전기장이 존재한다면, 이 전기장을 없애기 위해 자유전자의 흐름이 지속적으로 발생할 것이고, 이것은 곧 전류가 고립된 도체 내부에 생긴다는 말이기 때문이다.

이 말은 초과 전하(임의로 대전 시킨 전하)는 도체 내부에 존재할 수 없다는 말과 같다. 도체 내부에 초과 전하가 존재한다면, 전기장이 형성되고, 자유전자의 작용에 의해 정전기적 평형 상태가 깨지는 것이기 때문이다.

따라서 초과 전하를 대전시킨 극히 짧은 시간 동안은 자유전자의 작용으로 인해 전류가 흐르게 되면서 초과 전하는 도체 표면으로 이동하게 되고, 이에 정전기적 평형 상태가 되게 된다.

이때, 초과 전하는 도체 외부의 전기장이 도체 표면에 수직한 방향으로 형성되게끔 배열한다. 그 이유는 도체 외부의 전기장이 도체에 수직한 방향으로 생성되지 않고, 표면에 접하는 성분이 남아 있다면, 마찬가지로 접하는 성분에 따른 전기장에 의해 전하는 힘을 받고, 전류가 형성되게 된다. 이것 또한 정전기적 평형 상태를 가정했던 것의 모순이기 때문이다.

따라서 윗 문단에서 논의했던 매질 Ⅰ를 도체라 생각한다면, 도체 내부의 전기장은 존재하지 않음에 따라 [math(\mathbf{E_{1}}=0)]이므로 도체 표면에 의한 전기장 [math(\mathbf{E_{2}} \equiv \mathbf{E})]의 수직한 성분은


[math( \displaystyle \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{n}}=\frac{ \sigma }{ \epsilon_{0} } )]

이고, 마찬가지 방법으로 도체 표면에 접하는 방향의 전기장은


[math( \displaystyle \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} \hat{\mathbf{t}}= 0 )]

이므로 도체 외부엔 도체 표면에 수직한 방향의 전기장이 형성된다는 사실을 알 수 있다.

도체 내부에 공동(Cavity)을 뚫고, 정전기적 평형 상태에 도달했을 때, 공동에 해당하는 도체의 표면과 공동 안쪽에는 전하와 전기장 모두 존재할 수 없다는 것을 가우스 법칙으로 쉽게 알 수 있다. 다만, 공동 안에 전하를 놓게 되면 불평형성이 생기는데, 이에 따라 불평형성을 해소할 수 있게 공동에 해당하는 도체 표면에 놓은 전하의 반대 부호의 전하 만큼의 유도 전하가 생기게 된다. 그리고 전하량 보존에 의해 남은 전하는 모두 도체의 외부 표면에 위에서 밝힌 상태가 되게끔 배열하게 된다. 이 조건을 만족하지 않으면 도체가 정전기적 평형 상태가 유지되지 않는다.

따라서 어떤 도체가 [math(+2Q)]로 대전되고, 이 도체 내부에 공동을 뚫어서 [math(+Q)]의 전하를 갖다둔다면, 공동에 해당하는 도체의 표면엔 불평형성을 없애기 위해 [math(-Q)]의 전하가 유도되고, 전하량은 보존돼야 하므로 [math(+2Q-(-Q)=+3Q)]의 전하가 도체 외부 표면에 위 조건을 만족하게 분포하게 된다.

이 때문에 전기장의 차폐는 도체 내부에만 위치하면 이루어진다.

9.3. 도체가 받는 힘

외부 전기장 안에 있는 전하소 [math(dq)]에 작용하는 힘은 다음과 같이 쓸 수 있다.


[math( \displaystyle \mathbf{F} = \int \mathbf{E} \, dq=\int \mathbf{E} \rho \,dV )]

여기서 [math(\mathbf{E})]는 외부 전기장 외에도 전하소 자체에 의한 전기장도 포함되어 있다. 위와 비슷하게, 전하분포가 면에 되어 있다면,


[math( \displaystyle \mathbf{F}=\int \mathbf{E} \sigma \,da )]

를 쓰면 된다. 하지만 문제점은 면에 전하가 분포돼있는 경우엔 [math(\mathbf{E})]가 경계면을 기준으로 불연속이 일어나기 때문에 잘 정의가 되지 않는다. 따라서 위와 같은 방법으로는 구할 수 없으므로 다음과 같이 우회적인 방법으로 구해야 한다.

위와 같은 상황을 고려하자. 이때, 매질 Ⅰ, Ⅱ의 면적소 [math(da)]의 전기장은 아래와 같이 쓸 수 있다.


[math( \displaystyle \mathbf{E_{1}}=\mathbf{E^{(e)}_{1}}+\mathbf{E^{(i)}_{1}} )]

[math(\displaystyle \mathbf{E_{2}}=\mathbf{E^{(e)}_{2}}+\mathbf{E^{(i)}_{2}} )]

이때, [math(\mathbf{E^{(e)}_{\boldsymbol{n}}})]은 매질 [math(n)]에서의 외부 전기장, [math(\mathbf{E^{(i)}_{\boldsymbol{n}}})]는 매질 [math(n)]에서의 전하소 자체에 의한 전기장이다. 그런데 외부 전기장은 면적소 [math(da)]를 지날 때, 연속이어야 하므로


[math( \displaystyle \mathbf{E_{1}}=\mathbf{E^{(e)}}+\mathbf{E^{(i)}_{1}} )]

[math( \displaystyle \mathbf{E_{2}}=\mathbf{E^{(e)}}+\mathbf{E^{(i)}_{2}} )]

로 쓸 수 있다.

또한, 가우스 법칙을 이용하면,


[math( \displaystyle \mathbf{E^{(i)}_{1}}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} (-\hat{\mathbf{n}}), \,\, \mathbf{E^{(i)}_{2}}=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} (+\hat{\mathbf{n}}) )]

을 얻는다. 따라서


[math( \displaystyle \mathbf{E_{2}}=\mathbf{E^{(e)}}+\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \hat{\mathbf{n}} )]

이다.

이때, [math(da)]에 작용하는 힘은 명백히 외부 전기장 [math(\mathbf{E^{(e)}})]에 의해서만 받으므로[4] 위 두 식을 연립해서


[math( \displaystyle \mathbf{E^{(e)}}=\frac{\mathbf{E_{1}}+\mathbf{E_{2} }}{2} )]

를 얻고, 매질Ⅰ이 도체라면, [math(\mathbf{E_{1}}=0)]이다. 또한, 도체 표면에 수직하게 전기장이 생성되므로 [math(\mathbf{E_{2}} \equiv \mathbf{E}=E \hat{\mathbf{n}})]이라 쓸 수 있다. 즉,


[math( \displaystyle \mathbf{E^{(e)}}=\frac{\mathbf{E}}{2}=\frac{E}{2} \hat{\mathbf{n}} )]

가 된다. 그런데 도체 표면의 전기장 [math(E=\sigma/ \epsilon_{0})]이고, [math(\mathbf{E^{(e)}})]가 [math(da)]에 작용하는 힘은 [math(d\mathbf{F}=\mathbf{E^{(e)}}\sigma\, da)]이므로 다음을 얻는다.


[math( \displaystyle d \mathbf{F}=\frac{{\sigma}^{2}}{2 {\epsilon_{0} }} \hat{\mathbf{n}}\, da )]

이때, 단위 면적 당 도체가 받는 힘 즉, 압력은


[math( \displaystyle \frac{d \mathbf{F}}{da}=\frac{{\sigma}^{2}}{2 {\epsilon_{0} }} \hat{\mathbf{n}} )]

로 항상 도체 표면 밖을 향하는 방향으로 받는다는 것을 알 수 있다.

9.4. 안정 평형점의 존재

우리는 정전기학적 전기장에 대해 한 가지 흥미로운 주제를 논의해보고자 한다. 퍼텐셜 에너지 문서에서 우리는 평형점에 대해 논의하였고, 이를 토대로 이 문단에서 정전기학적 전기장에 있는 공간에서 안정 평형점이 존재할 수 있는지를 논의하고자 한다.

정전기학적 전기장이 존재하는 공간을 고려하고, 전하가 없는 영역 즉, 자유 공간 중 어떤 점 [math(\mathrm{P})]가 안정 평형점이라고 가정해보자. 그렇다면, 해당 지점에서 전기장은 0 즉, [math(\mathbf{E}(\mathrm{P})=0 )]이 되어야 하며, 전기장은 해당 지점으로 방사돼 나오거나 나가는 형태여야만 한다.[5] 즉, 이것을 그림으로 표현하면 아래와 같다.

이때, 위 그림과 같이 [math(\mathrm{P})]를 중심으로 하는 작은 구면을 가우스면 [math(S)]라 잡자. 우리는 전하가 없는 영역을 고려하고 있기 때문에 가우스 법칙에 의해


[math( \displaystyle \oiint_{S} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a}=0 )]

그러나 조건을 만족하려면, 전기장은 점 [math(\mathrm{P})]으로 방사돼 나오거나 나가는 형태여야만 한다 했으므로 가우스 면의 면적소 법선 벡터와 전기장은 평행하다. 따라서


[math( \displaystyle \oiint_{S} \mathbf{E} \boldsymbol{\cdot} d\mathbf{a} \neq 0 )]

이므로 위와 모순된다. 따라서 정전기학적 전기장만이 있는 공간에서 안정 평형점은 존재할 수 없다. 즉, 이것은 정지한 전하들을 적당히 공간 상에 배치, 정전기학적 전기장으로 어떠한 전하를 안정 평형점에 구속되게 하는 것은 불가능하다는 것을 나타낸다. 또한, 정전기학적 상황에서 자유 공간에는 전하가 존재할 수 없다는 것을 뒷받침해주는 것이기도 한다.

또한 더 나아가서 안정 평형점이 존재하지 못하기 때문에 퍼텐셜 함수 자체가 극점이 존재하지 못하고, 안장점만 존재한다는 것 또한 알 수 있다. 그렇기 때문에 평형점이 존재하더라도 어떤 방향으로는 불안정할 수밖에 없다.[6]

이 정리는 1842년 영국의 수학자 언쇼(S. Earnshaw; 1805 ~ 1888)에 의하여 처음 증명되었기 때문에 언쇼 정리라고 하기도 한다.

10. 전기 변위장 (Electric displacement field)

이 문서는 진공에서 생성되는 전기장을 다뤘으나, 유전체 등의 편극성 물질은 전기장이 가해지면, 편극이 일어나기 때문에 그 효과를 고려한 장을 생각해볼 필요가 있다.

자세한 건 전기 변위장 문서를 참고한다.

11. 비보존적 전기장의 존재

우리는 이 문서에서 정전기학에서의 입장에 맞춰 전기장을 분석해보았다. 이 전기장은 보존적이고,


[math( \displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} =0 )]

이라 하였다. 그러나 전기역학으로 넘어가면, 우변이 0이 아닌 장을 발견하게 된다.

비보존적 전기장은 기전력과 관련되어있으며, 전자기 유도 문서에 충분히 잘 설명되어 있으니 해당 문서를 참고한다.

12. 관련 문서


  1. [1] 정확히 말하면, 시험 전하를 제외한 전기장을 만드는 전하를 '원천 전하'라 한다.
  2. [2] 참고로 [math(q')]이 받는 전기력을 측정하려면 [math(q')]이 '시험 전하', [math(q)]가 '원천 전하'가 된다.
  3. [3] 프라임은 전하의 좌표계란 점을 강조하기 위해 붙였다.
  4. [4] 전하소 자체가 만드는 전기장으로 전하소 자신이 힘을 받지는 않는다.
  5. [5] 우리는 안정 평형점을 고려하고 있다는 것을 상기하라. 이 조건이 만족하지 않는다면 해당 점은 안정 평형점이 될 수 없다.
  6. [6] 사실인지 확인해보려면, 축을 기준으로 같은 지점만큼 떨어진 거리에 같은 점전하를 놓은 상황의 퍼텐셜 함수를 그려보아라.

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