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[image]   수학의 한 분야에 대한 내용은 대수학 문서를 참조하십시오.

1. 代數
1.1. 대수적 구조
2. 체 위의 대수, Algebra over a field
3. 對數, Logarithm
4. 大綬, Sash

1. 代數[1]

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대수학에서 주로 다루는 수이다. 대수적 수(algebraic number) 라고도 한다. '대수학적인 방정식'의 근이 되는 수들을 대수라고 한다. 반대로 어떤 대수학적인 방정식의 근도 되지 않으면 초월수라고 한다. 다시 말하면, 정수 계수로만 이루어진 유한 차수 다항식의 근이 되는 수(들)이다.

임의의 유리수 \displaystyle \frac{b}{a}는 일차방정식 ax = b의 근이 되기 때문에 모든 유리수는 대수이다.

무리수 부터는 대수인 수와 대수가 아닌수(초월수)로 나뉜다. 대수인 무리수를 하나만 들자면 \displaystyle \sqrt{2}가 있는데, 이 수는 x^2-2 = 0의 근이 되므로 대수이다. 반대로 예를 들어 원주율 \pi 같은 수는 대수가 아니고 초월수이다. 참고로 대수인 무리수들은 무한히 많은데, 초월수인 무리수는 대수보다는 더 많다.[2]

대수와 초월수의 개념은 복소수 범위까지 넘어간다. 예를 들어 i = \sqrt{-1}허수이지만, x^2+1 = 0의 근이므로 i는 대수이다.

1.1. 대수적 구조

대수적 구조(algebraic structure)는 추상대수학에서 다루는 특정 조건을 만족시키는 구조를 일컫는 말이다. 곧 , , , 모노이드, 가군 같은 온갖 대수학적 구조를 모두 일반화시켜 가리키는 말.

대수구조의 형식화는 먼저 어떤 집합을 놓고 그 집합 위에 연산을 정의한 다음 이것이 특정 공리들을 만족한다고 정의하는 식으로 이루어진다.

예시) 집합 G와 그 위의 이항연산 x를 정의하여 구조 (G, x)를 구성하는데, 이때 이 구조가 3가지 공리, 곧 "결합법칙의 만족, 항등원의 존재, 역원의 존재"를 모두 만족한다고 하자.[3] 그러면 이 구조는 (group)이 된다.

예시) 집합 R과 그 위의 이항연산 +를 정의하여 구조 (R, +)를 구성하는데, 이때 이 구조가 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙을 만족하고 항등원과 역원이 존재함을 모두 만족한다 하자. 그러면 이 구조는 (ring)이 된다.

당연히 도메인이 되는 기초 집합이 다르면 구조는 종류가 같더라도 엄밀히 서로 다른 세부적 특성을 가질 수 있다. 예를 들어 체가 유리수 집합에서 이뤄지느냐, 실수집합에서 이뤄지느냐, 복소수 집합에서 이뤄지느냐에 따라 각각 유리수체, 실수체, 복소수체로 나눌 수 있다.

2. 체 위의 대수, Algebra over a field

대수학

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이론

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체 위의 대수(Algebra on a field)는 복잡한 대수적 구조 중 하나로, 벡터 공간 위에 곱셈 구조가 추가로 주어진 대수적 구조라 할 수 있다. 다만, 기존에 이미 덧셈과 스칼라곱이라는 연산이 주어져 있었으므로, 이 곱셈은 덧셈과 스칼라곱에 대해 어떤 관계, 즉 분배 법칙을 만족해야만 한다. 즉, 대수에서 말하는 곱셈이란 각 항에 대해 선형적이며, 따라서 쌍선형 사상이라고 할 수 있다. 이를 풀어서 쓰면 다음과 같다.

A 가 체 F 위의 대수라는 것은, 다음을 만족하는 것이다.

우리가 가장 흔히 접하는 대수는 행렬 공간 F^{n\times n} 이다. 선형 대수에서는 행렬 공간을 벡터 공간으로만 다뤄왔지만 누구나 행렬 공간에 곱셈 구조도 존재함을 알고 있을 것이다. 그러므로 선형대수학의 기본정리에 의해 임의의 벡터 공간 V 에 대해 V 에서 V로 가는 선형 변환들의 공간 \mathfrak{L}(V, V) 도 합성 연산을 곱셈으로 가지는 대수이다. 여기에 더해 정의역과 공역이 같고 공역이 인 함수들의 모임도 대수를 이룬다고 할 수 있을 것이다.

그런데 위의 정의를 보면, 어째선지 당연하게 있어야 할 것이 없다. 바로 결합법칙이다. 즉, 대수에서의 곱셈은 결합 법칙을 요구하고 있지 않다![7] 이러한 방식으로 정의한 이유는 당연히 더 넓은 범위의 개념을 다루기 위해서겠지만... 실제 세계에서 결합 법칙을 만족하지 않는 곱셈이 있을까? 다시 위에서 이 문단의 첫 문장을 읽어보고 오자. 벡터 공간 위에 주어진 벡터의 곱이면서, 그 결과가 벡터고, 결합 법칙을 만족하지 않는 곱셈...? 그렇다. 바로 외적이다. 대수의 정의를 이렇게 둔 이유는 바로 (F^3, +, \cdot, \times) 도 대수의 일부로 다루고자 하기 때문이다.

사실 결합 법칙을 만족하지 않는 가장 중요한 예로 리 대수(Lie algebra)를 들 수 있다. 결합법칙 대신 반대칭관계(anti-symmetry) [A, B] = -[B, A]와 Jacobi identity [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0을 만족한다.[8][9] 좀 전에 예를 든 외적으로 구성된 3차원 공간도 리 대수이며, 잘 알려진 리 대수 중 하나인 \mathfrak{so}(3)와 동형(isomorphic)이다. 또한 리 군(Lie group)을 다루면 필연적으로 등장하는 녀석으로, 리 군의 성질 중 상당 부분, 특히 local한 성질들을 보고자 할 때 강력한 도구이다. 리 군 자체를 다루는 것보다 그에 대응하는 리 대수를 다루는 게 훨씬 편리하기 때문이다. 더군다나 리 군과 리 대수 간의 거의 사실 상 1-1 대응[10]을 이룬다. 그리고 단순 리 대수(simple Lie algebra)들의 분류와 존재성, 유일성, 심지어 이들의 표현(representation) 전부의 분류 및 존재성, 유일성 모두가 증명이 옛날에 완료되어서 많은 곳에서 써먹히는 중이다.[11] 그 외에 결합 법칙이 만족되지 않는 예로 조르당 대수가 있으며, 팔원수 역시 한 예로 들 수 있다. (사원수까진 결합법칙이 성립한다.) 사실 '대수' 그 자체 전체보다는 지금 든 예들처럼 어떤 특정한 조건을 만족하는 대수들을 모아다 연구하는 게 보통이다.

한편, 결합 법칙을 만족하는 대수, 즉 associative algebra도 얼마든지 중요하고, 그래서 오랫동안 연구되어 온 주제이기도 하다. 아무래도 제일 익숙한 녀석이다 보니까. 거기다 사실 결합 법칙을 만족하지 않는 대수가 어떤 식으로 associative algebra에서 표현된다고 하면 정말 편리해진다. 좋은 예를 위에서 든 리 대수 분야에서 찾을 수 있는데, universal enveloping algebra라고 거칠게 말하자면 주어진 리 대수를 야무지게(?!)[12] 포함하는 associative algebra를 항상 찾을 수 있고, 여기저기 정말 잘 써먹힌다. 덧붙여서, 교환법칙을 만족하는 associative algebra도 중요하고, 활발하게 연구되고 있다. 교환법칙을 반교환법칙으로 바꾼 경우도 그렇고. 예를 들어 미분기하학에서 텐서를 다룰 때 이 둘을 자주 볼 것이다. 교환법칙을 만족하는 associative algebra의 경우, K-theory 같은 데에서 주역이기도 하고.

그 외에도, 덧셈과 스칼라곱에는 있는데 곱셈에는 없는 조건이 있다. 바로 항등원의 존재이다. 만약 A 1_A 가 존재해서 모든 x \in A 에 대해 1_A \times x = x \times 1_A = x 라면, A를 unital algebra라 부른다.

3. 對數, Logarithm

로그(log)의 한자식 표현이다. 로그에 대해서는 해당 문서 참조.

4. 大綬, Sash

훈장을 패용할 때 어깨에서 허리에 걸쳐 드리우는 끈(綬).


  1. [1] "일정한 시간을 센 수효"도 대수(代數)이다. 대수학의 대수는 \[대:수\], 수효를 뜻하는 대수는 \[대:쑤\]로 서로 발음이 다르다. 이때의 발음상 차이는 사잇소리로 부르지만, 표기로 반영되지 않으므로 사이시옷이 있다고 할 수는 없다.
  2. [2] 대수인 무리수의 집합은 그 크기가 자연수와 같고, 초월수인 무리수의 집합은 그 크기가 실수와 같다.
  3. [3] 즉 집합 G 위에서 이항연산 x를 시행할 때 위의 공리가 항상 성립하게 된다는 얘기다.
  4. [4] x, y \in A \Rightarrow x + y \in A
  5. [5] 이 때, u = -x 로 표기한다.
  6. [6] 이 조건 때문에 a\in F, x\in A에 대해 a\cdot x ax로 줄여쓰는 것에 혼동의 여지가 없으므로 스칼라 곱을 ax 형태로 쓸 수 있다.
  7. [7] 곱셈이 결합 법칙을 만족하는 대수는 결합 대수(Associative Algebra)라고 부른다.
  8. [8] 리 대수에서 두 원소의 곱은 보통 \lbrack A, B \rbrack 또는 \lbrack AB \rbrack로 표기한다. 전자는 물리학자들이 많이 쓰고 후자는 수학자들이 많이 쓴다. 다만 요즘 기준으로는 수학자들도 전자를 많이 쓰는 것 같은데, 이에 대해선 추가바람. 다만 결합법칙을 만족하지 않는 다른 대수의 곱셈을 표기할 때도 이 표기를 쓰곤 한다. 결합법칙을 만족하지 않는데 \lbrack A \lbrack BC \rbrack \rbrack이라면 모를까 ABC라고 쓰면 골룸하기 때문이다.
  9. [9] 재밌게도, 만약 X\lbrack A, X \rbrack로 보내는 선형사상을 \textrm{ad }A라고 표기하면 (하도 중요한 거라서 adjoint라는 이름도 갖고 있다) Jacobi identity로부터 다음을 만족한다는 것을 보일 수 있다. (\textrm{ad }A)\lbrack X, Y \rbrack = \lbrack (\textrm{ad }A)X, Y \rbrack + \lbrack X, (\textrm{ad }A)Y \rbrack. 이게 미분의 곱셈법칙(혹은 라이프니츠 규칙(Leibniz' rule))과 비슷하게 보인다면 제대로 본 것이다. 라이프니츠 규칙을 갖는 선형 연산자는 미분의 대수학적 추상화 버전으로 다루어지며, 이게 리 군의 구조에서 중요한 역할을 한다. 물론 리 대수 그 자체의 구조를 다룰 때에도 매우 중요한 녀석이고.
  10. [10] '거의 사실 상'이라고 했듯이 정말 1-1 대응은 아니다. 정확하게는 단순연결인 리 군과 리 대수 간에 1-1 대응이 있는 것이다. 하지만 universal covering을 생각하면 이것만으로도 충분하긴 하다.
  11. [11] 이게 뭐가 중요하냐면, 자연 현상에서 나타나는 많은 대칭성들이 컴팩트 리 군(compact Lie group)으로 표현되는데, 컴팩트 리 군은 단순 리 군이고, (단순연결인) 단순 리 군의 리 대수는 단순 리 대수 간에 1-1 대응이 존재하기 때문에 단순 리 대수를 알면 컴팩트 리 군의 상당 부분을 이미 알고 시작하는 셈이기 때문이다. 물론 단순 리 대수의 분류 작업이 대수적으로 닫힌 체(field)에서만 잘 작동한다는 점도 있고 리 대수 만으로는 보기 어려운 컴팩트 리 군의 다양한 성질들이 있긴 해서 사실 전부 다 알고 시작하는 건 아니지만, 그 정도 확장이야 그리 어려운 것도 아닌데다 어차피 이 단순 리 대수 내용이 컴팩트 리 군에서 전반적으로 엄청 중요한 건 변하지 않기 때문이다. 굳이 비유하자면 최고 레벨 100자리 게임에서 레벨 60부터 시작한다는 느낌?
  12. [12] 정확하게 말하자면 리 대수 \mathfrak{g}가 있을 때 어떤 associative algebra U(\mathfrak{g})와 embedding \iota : \mathfrak{g} \to U(\mathfrak{g})가 존재해 다음을 만족한다는 것이다. 임의의 associative algebra \mathcal{A}에 대해 AB - BA \;\; (A, B \in \mathcal{A})를 product로 해서 새로운 대수 구조를 \mathcal{A}에 부여할 수 있고, 이걸 \mathcal{A}_L이라고 표기하면 물론 이건 리 대수가 될 것이다. 이제 이러한 \mathcal{A}_L에 대하여 리 대수 준동형사상(Lie algebra homomorphism) f : \mathfrak{g} \to \mathcal{A}_L이 존재한다고 하자. 그러면 항상 \phi \circ \iota = f를 만족하는 결합대수 준동형사상(associative algebra homomorphism) \phi : U(\mathfrak{g}) \to A를 찾을 수 있고, 심지어 이 사상은 유일하다. (이러한 성질과 비슷한 것들을 가리켜 universal property라고 부른다.)

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