나무위키 모바일 미러 (일반/어두운 화면)

1. 개요
2. 수학적 분석
2.1. 직선이 유일하게 결정될 조건
2.2. 좌표평면 상 직선의 기술
2.2.1. 직선의 방정식
2.2.2. 벡터 이용
2.2.2.1. 방향 벡터 사용
2.2.2.2. 법선 벡터 사용
2.3. 직선과 연립일차방정식
2.4. 좌표평면 상 직선의 위치 관계
2.4.1. 연립일차방정식의 해의 특성과의 연관점
2.5. 점과 직선 사이의 거리
2.6. 기타 분석
2.6.1. 두 직선의 교점을 지나는 도형의 방정식
2.6.2. 세 직선이 삼각형을 결정하는 조건
2.6.3. 두 직선이 이루는 예각
2.7. 3차원 이상에서의 직선
3. 기타
4. 관련 문서

1. 개요

Straight line ·

[image]

두 점 [math(\mathbf{A})], [math(\mathbf{B})]를 지나는 직선 [math(\mathbf{AB})]

쉽게 말하자면 말 그대로 곧은 선이다. 직선은 무한히 얇고, 선분처럼 유한한 길이를 가진 것이 아닌 무한히 뻗어나가는 선으로, 한 점으로부터 양쪽으로, 같은 높이에 있는 점들의 무한집합이다. 점과 달리 방향의 개념이 있다.

힐베르트 공리계에서는 직선이 무정의 용어이다. 그 외의 무정의 용어로 과 평면이 있다.

직선을 나타낼 때에는 직선 위의 임의의 두 점\mathrm{A}, \mathrm{B}를 잡고 직선 \mathrm{AB}, 혹은 직선 \mathrm{BA}라고 부른다. 혹은 직선 통째로 [math(l)], [math(m)], [math(n)] 등 알파벳 소문자로 이름붙이는 경우도 있다.

2. 수학적 분석

2.1. 직선이 유일하게 결정될 조건

2.2. 좌표평면 상 직선의 기술

이 문서에서는 해석기하학적인 직선의 성질을 분석하는 것을 중점으로 두며, 분석의 용의성을 위해 평면(2차원) 상의 직선으로 국한 시켜 주로 다룬다.

2.2.1. 직선의 방정식

결론부터 말하자면, 방정식 [math(ax+by+c=0)] (단, [math(a, b, c)]는 상수)은 좌표평면 상 직선을 기술한다.

[1] [math(ab \neq 0)]일 경우

이 경우 위의 방정식을 다음과 같은 형식


[math( \displaystyle y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} )]

으로 쓸 수 있고, 이것은 기울기가 [math(-\dfrac{a}{b})], [math(y)]절편이 [math(-\dfrac{c}{b})]인 일차함수를 기술하는 직선임을 얻는다.

이때, [math(-\dfrac{a}{b} > 0)]이면 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} -\dfrac{a}{b}x = \infty)]인 증가함수이고, [math(-\dfrac{a}{b} < 0)]이면 [math(\displaystyle \lim_{x \to \infty} -\dfrac{a}{b}x = -\infty)]인 감소함수이다. 극한값을 보면 알 수 있겠지만, 이 함수는 특정한 점으로 수렴하지 않는다. 이것은 위에서 말한 직선의 정의와 동치이다.

[2] [math(a \neq 0)], [math(b=0)]일 경우

이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식


[math( \displaystyle x=-\frac{c}{a} )]

으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((-c/a,\,y))]의 점의 집합이므로 [math(y)]축과 평행하고, [math(x)]절편이 [math(-c/a)]인 직선을 나타낸다.

[3] [math(a = 0)], [math(b \neq 0)]일 경우

이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식


[math( \displaystyle y=-\frac{c}{b} )]

으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x,\,-b/c))]의 점의 집합이므로 [math(x)]축과 평행하고, [math(y)]절편이 [math(-c/b)]인 직선을 나타낸다.

이상의 결과를 좌표평면 상에 나타내면, 아래와 같다.

[image]

2.2.2. 벡터 이용

2.2.2.1. 방향 벡터 사용

좌표평면 상 어떤 직선과 평행한 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '방향 벡터(Direction vector)'라 부른다.)


[math(\mathbf{u}=(a,\,b))]

를 고려해보자. 이때, [math(a)], [math(b)]는 각각 상수이고, 직선이 점 [math((x_{0},\,y_{0}))]를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 [math((x, y))]과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터


[math(\mathbf{l}=(x-x_{0},\,y-y_{0}))]

는 위의 방향벡터와 평행하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.


[math(\mathbf{l}=t \mathbf{u})]

이때, [math(t)]는 임의의 스칼라이다. 그렇다면, 각 축의 성분에 대해 아래의 결과를 얻는다.


[math( \begin{aligned} x-x_{0}=at \qquad \qquad y-y_{0}=bt \end{aligned} )]

[1] [math(ab \neq 0)]일 경우

이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식


[math( \displaystyle \begin{aligned} \frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b} (=t)\end{aligned} )]

를 얻으므로 이것을 우리가 잘 아는 일차함수 형태


[math( \displaystyle y=\frac{b}{a}x + \left(y_{0}-\frac{b}{a}x_{0} \right) )]

로 쓸 수 있고, 이것은 곧 기울기가 [math(b/a)], [math(y)]절편이 [math(y_{0}-(b/a)x_{0})]인 직선을 기술함을 알 수 있다.

[2] [math(a \neq 0)], [math(b=0)]일 경우

이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식


[math( \displaystyle \begin{aligned} x=at+x_{0} \qquad \qquad y=y_{0} \end{aligned} )]

으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x,\,y_{0}))]의 점의 집합이므로 [math(x)]축과 평행하고, [math(y)]절편이 [math(y_{0})]인 직선을 나타낸다.

[3] [math(a = 0)], [math(b \neq 0)]일 경우

이 경우 위에서 나온 각 축의 성분에 대한 관계식


[math( \displaystyle \begin{aligned} x=x_{0} \qquad \qquad y=bt+y_{0} \end{aligned} )]

으로 쓸 수 있고, 이것은 곧 점 [math((x_{0},\,y))]의 점의 집합이므로 [math(y)]축과 평행하고, [math(x)]절편이 [math(x_{0})]인 직선을 나타낸다.

2.2.2.2. 법선 벡터 사용[1]

좌표평면 상 어떤 직선과 직교하는 벡터(일반적으로 이러한 벡터를 '법선 벡터(Normal vector)'라 부른다.)


[math(\mathbf{u}=(a,\,b))]

를 고려해보도록 하자. 이때, [math(a)], [math(b)]는 각각 상수이고, 직선이 점 [math((x_{0},\,y_{0}))]를 지난다고 하자. 이때, 직선 위의 임의의 점 [math((x, y))]과 해당 점을 각각 시점, 종점으로 하는 벡터


[math(\mathbf{l}=(x-x_{0},\,y-y_{0}))]

로 쓸 수 있고, 법선 벡터와 직선 위의 벡터는 수직하므로 두 벡터의 내적 [math( \mathbf{u} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{l}=0)]을 만족한다. 따라서


[math( a(x-x_{0})+b(y-y_{0})=0 )]

이것은 [math(c \equiv -(ax_{0}+by_{0}))]라 놓으면 [math(ax+by+c=0)] 꼴로 정리되므로 좌표평면 상 직선을 기술한다는 것을 알 수 있다.

2.3. 직선과 연립일차방정식

이제부터 다음의 연립일차방정식


[math( \displaystyle \left\{\begin{matrix}

\ ax+by+c&=0 \\ a'x+b'y+c'&=0

\end{matrix}\right. )]

을 고려해보도록 하자. 연립일차방정식을 푼다는 것은 위의 두 방정식 [math(ax+by+c=0)], [math(a'x+b'y+c'=0)]을 모두 만족시키는 해 [math(x)], [math(y)]를 찾는 것과 같다. 그런데 두 방정식 [math(ax+by+c=0)], [math(a'x+b'y+c'=0)]는 좌표평면 상 직선을 나타내고, 이것이 모두 동시에 만족하는 것은 두 직선의 교점 뿐이다. 따라서 연립일차방정식을 푼다는 것은, 두 직선(혹은 그 이상의 차원이라면 그것을 기술하는 도형)들의 교점을 찾는 것과 동치임을 얻는다.

2.4. 좌표평면 상 직선의 위치 관계

좌표평면 위의 두 직선


[math( \displaystyle \begin{aligned} ax+by+c&=0 \\ a'x+b'y+c'&=0 \end{aligned} )]

을 고려하자. 이때, [math(a \sim c)], [math(a' \sim c')]는 각각 [math(abc \neq 0)], [math(a'b'c' \neq 0)]인 상수이다. 이때, 상수의 조건에 따라 위 두 직선은 일차함수의 꼴


[math( \displaystyle \begin{aligned} y&=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b} \\ y&=-\frac{a'}{b'}x-\frac{c'}{b'} \end{aligned} )]

로 쓸 수 있다.

[1] 두 직선이 한 점에서 만날 조건

두 직선이 한 점에서 만나려면 두 직선의 기울기만 다르면 된다. 따라서


[math( \displaystyle \frac{a}{b} \neq \frac{a'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} \neq \frac{b'}{b} )]

를 만족하면 된다.

[2] 두 직선이 평행할 조건

두 직선이 평행하려면 두 직선의 기울기는 같고, [math(y)]절편은 달라야 한다. 따라서


[math( \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\,\, \text{and}\,\, \frac{c}{b} \neq \frac{c'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} \neq \frac{c'}{c} )]

를 만족해야 한다.

[3] 두 직선이 일치할 조건

두 직선이 일치하려면 두 직선의 기울기와 [math(y)]이 모두 같아야 한다. 따라서


[math( \displaystyle \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'}\,\, \text{and}\,\, \frac{c}{b} = \frac{c'}{b'} \, \to \, \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} )]

를 만족해야 한다.

[4] 두 직선이 직교할 조건

평행이동을 통하여 두 직선은 다음과 같이 원점을 지나는 직선으로


[math( \displaystyle \begin{aligned} y&=-\frac{a}{b}x \\ y&=-\frac{a'}{b'}x \end{aligned} )]

으로 평행이동시킬 수 있다.

[image]

그리고, [math(x=1)]의 직선과의 두 직선과의 각각의 교점 [math(\mathrm{A})], [math(\mathrm{B})]를 고려하면, 각각의 점의 좌표는 아래와 같다.


[math( \displaystyle \mathrm{A} \left( 1, -\frac{b}{a} \right) \qquad \qquad \mathrm{B} \left( 1, -\frac{b}{a} \right) )]

이때, 삼각형 [math(\mathrm{OAB})]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리를 적용 가능하므로


[math( \displaystyle {\overline{\mathrm{AB}} }^{2}={\overline{\mathrm{OA}} }^{2}= +{\overline{\mathrm{OB}} }^{2} )]

을 이용하면,


[math( \displaystyle 2+\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{a'^{2}}{b'^{2}}=\left( \frac{a}{b}-\frac{a'}{b'} \right)^{2} )]

이고, 이것을 정리하면,


[math( \displaystyle \frac{aa'}{bb'}=-1 )]

이고, 따라서 우리는 다음과 같은 결론을 얻는다:


[math( \displaystyle aa'+bb'=0 )]

이상의 결과를 정리하면 다음과 같다.

{{{#!wiki style="text-align: center"


[math( \displaystyle \frac{a'}{a} \neq \frac{b'}{b} )]}}}

{{{#!wiki style="text-align: center"


[math( \displaystyle \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} \neq \frac{c'}{c} )]}}}

{{{#!wiki style="text-align: center"


[math( \displaystyle \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c} )]}}}

{{{#!wiki style="text-align: center"


[math( \displaystyle aa'+bb'=0 )]}}}

2.4.1. 연립일차방정식의 해의 특성과의 연관점

우리는 위에서 연립일차방정식을 푼다는 것은 곧, 직선의 교점을 찾는 것과 동치인 문제임을 논의했다. 그런데, 바로 윗문단에서 우리는 직선의 위치 관계에 대해 논의했다. 즉, 이 교점의 개수로 해의 개수는 결정되는데 이는 다음을 얻는다.

즉, 연립일차방정식의 해의 특성을 찾는 것은 좌표평면 상의 해당 도형의 교점의 개수를 판단하는 문제와 동치임을 얻는다.

2.5. 점과 직선 사이의 거리

좌표평면 상 직선 [math( ax+by+c=0)]과 직선 외부의 점 [math(\mathrm{P}(x_{0},\,y_{0}))]을 고려하자. 또한 이 직선이 [math(\mathrm{Q}(x_{1},\,y_{1}))]을 지난다고 생각해보자.

우선 주어진 직선의 법선 벡터는 [math(\mathbf{n}=(a,\,b))]가 될 것이다. 이때, 외부의 한 점을 시점, 평면 위의 한 점을 종점으로 하는 벡터 [math(\mathbf{p} \equiv \overrightarrow{\mathrm{PQ}})]


[math( \displaystyle \mathbf{p}=(x_{0}-x_{1},\,y_{0}-y_{1}) )]

를 고려하자.

그렇다면, 우리가 구하는 점과 직선 사이의 거리는 한 점에서 직선 위에 수선의 발을 내렸을 때, 그 점에서 수선의 발까지의 거리가 됨에 따라 벡터 [math(\mathbf{p})]의 법선 벡터 [math(\mathbf{n})] 위로의 스칼라 사영[2]이 될 것이다. 우리가 구하는 점과 직선 사이의 거리를 [math(s)]라 놓으면,


[math( \displaystyle \begin{aligned} s&=| \text{proj}_{\mathbf{n}} \, \mathbf{p} | \\

&=\frac{|\mathbf{n} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{p}|}{|\mathbf{n}|} \\&=\frac{|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\

&=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{aligned} )]

의 결과를 얻는다.

2.6. 기타 분석

2.6.1. 두 직선의 교점을 지나는 도형의 방정식

이 문단에서는 좌표평면 위의 두 직선 [math(ax+by+c=0)]과 [math(a'x+b'y+c'=0)]의 교점을 지나는 도형의 방정식을 구해보도록 하자. 우선 두 직선의 교점을 [math((\alpha,\,\beta))]라 놓고, 두 직선에 각각 점을 대입하면,


[math(a \alpha+b \beta+c=0 \qquad \qquad a' \alpha+b' \beta+c'=0)]

이 성립한다. 다음의 방정식을 고려해보자.


[math(a x+b y+c+k(a' x+b' y+c' )=0)] (단, [math(k)]는 상수)

이 방정식은 [math(f(x,\,y)=0)] 꼴이므로 좌표평면 상 어떠한 도형[3]을 나타내는 것은 수학적으로 자명하다. 이 방정식에 두 직선의 교점을 대입하면,


[math(a \alpha+b \beta+c+k( a' \alpha+b' \beta+c' )=0)]

이고, 이것은 [math(k)]의 값에 관계 없이 성립하는 항등식이다.[4] 따라서 이 도형의 방정식은 [math(k)]의 값에 관계 없이 항상 두 직선의 교점을 지난다는 것을 알 수 있고, 결국 우리가 찾는 도형의 방정식임을 얻는다.

다만, 위의 형태의 경우 [math(a' x+b' y+c'=0)]이 제외되는 문제점이 있어 이를 다음과 같은 형태로 쓰기도 한다.


[math(m(a x+b y+c)+n(a' x+b' y+c' )=0)] (단, [math(m)], [math(n)]은 상수)

2.6.2. 세 직선이 삼각형을 결정하는 조건

좌표평면 상 다음의 경우를 제외한 세 직선은 삼각형을 결정한다.(단, 두 직선 혹은 세 직선이 일치하는 경우는 제외한다.)

2.6.3. 두 직선이 이루는 예각

좌표평면 위의 두 직선


[math( \displaystyle \begin{aligned} l_{1}:&\,\,ax+by+c=0 \\ l_{2}:&\,\,a'x+b'y+c'=0 \end{aligned} )]

을 고려하자. 또한 각 직선의 기울기를 다음과 같이 두자


[math(\displaystyle -\frac{b}{a} \equiv m \qquad \qquad -\frac{b'}{a'} \equiv m' )]

이때, [math(l_{1})], [math(l_{2})]가 [math(x)]축의 양의 방향과 이루는 각을 각각 [math(\theta_{1})], [math(\theta_{2})]라 하면,

[image]

와 같이 되고, 두 직선이 이루는 각 중 예각을 [math(\theta)]라 놓자. 그러면


[math(\displaystyle \theta=\theta_{2}-\theta_{1} )]

이 되고, 이미 주어진 두 직선으로 부터


[math(\displaystyle \tan{\theta_{1}}=m \qquad \qquad \tan{\theta_{2}}=m' )]

임을 알고있으므로


[math(\displaystyle \begin{aligned} \tan{\theta}&=|\tan{(\theta_{2}-\theta_{1})}| \\ &=\left| \frac{\tan{\theta_{1}}-\tan{\theta_{2}} }{1+\tan{\theta_{1}\tan{\theta_{2}} }} \right| \\ &=\left| \frac{m-m' }{1+mm'} \right| \end{aligned} )]

주의해야 할 것은 우리는 예각을 구하고 있다는 점이다. 그래서 절댓값을 씌웠다는 것에 주의해야 한다.

이것은 각각의 직선의 방향벡터를 이용해도 구할 수 있다. 직선 [math(l_{1})], [math(l_{2})]의 방향벡터를 각각 [math(\mathbf{u}_{1})], [math(\mathbf{u}_{2})]라 하자. 그렇다면, 이 두 벡터가 이루는 예각을 [math(\theta)]라 놓으면 다음이 성립한다.


[math(\displaystyle \cos{\theta}=\frac{|\mathbf{u}_{1} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{u}_{2}|}{|\mathbf{u}_{1}||\mathbf{u}_{2}|} )]

여기서도 절댓값을 씌운 이유는 예각을 찾고 있기 때문이다.

2.7. 3차원 이상에서의 직선

3차원 이상의 고차원 공간에서는 직선을 기술하기 위해 방향벡터의 도입이 필수적이다.

3차원 이상의 공간에서의 직선을 벡터로 기술하는 법 또한 2차원에서의 벡터를 이용한 직선 기술법과 같다. 즉, 방향벡터 [math(\mathbf{u})]와 직선 위의 임의의 벡터 [math(\mathbf{l})]이 평행한 성질을 이용한다. 즉,


[math(\mathbf{l}=t \mathbf{u})]

을 이용한다.(이것을 직선의 벡터 방정식이라 한다.) 이때, [math(t)]는 임의의 스칼라이다. 이때,


[math(\displaystyle \mathbf{l}=\sum_{i} (x_{i}-p_{i}) \hat{\mathbf{x}}_{i} \qquad \qquad \mathbf{u}=\sum_{i} a_{i} \hat{\mathbf{x}}_{i} )]

임을 이용하자. 여기서 [math(\displaystyle \hat{\mathbf{x}}_{i})]는 [math(x_{i})]축의 단위 벡터, [math(p_{i})]는 직선 위의 임의의 점의 [math(x_{i})]축의 좌푯값이다. 따라서


[math(\displaystyle \sum_{i} (x_{i}-p_{i}) \hat{\mathbf{x}}_{i} =t \sum_{i} a_{i} \hat{\mathbf{x}}_{i} )]

으로 쓸 수 있다. 즉, 직선에 대하여


[math(\displaystyle x_{i}-p_{i} = t a_{i} )]

임을 알 수 있다.(이것을 직선의 매개변수 방정식이라 한다.) 만일 [math(a_{i} \neq 0)]이라면, 직선의 방정식은


[math(\displaystyle \frac{x_{1}-p_{1}}{a_{1}}=\frac{x_{2}-p_{2}}{a_{2}}=\cdots=\frac{x_{i}-p_{i}}{a_{i}} )]

으로 쓸 수 있다. 예를 들어 3차원 상에서는


[math(\displaystyle \frac{x-p_{x}}{a_{x}}=\frac{y-p_{y}}{a_{y}}=\frac{z-p_{z}}{a_{z}} )]

의 형태로 쓸 수 있고, 이것은 방향벡터가 [math(a_{x},\,a_{y},\,a_{z})]이고, 점 [math((p_{x},\,p_{y},\,p_{z}))]를 지나는 직선이다.

만약, [math(a_{j}=0)]을 만족하는 [math(x_{j})]축 방향벡터의 성분이 있다면, [math(x_{j})]축을 제외한 것만 위와 같이 연달아 쓰고, [math(x_{j}=p_{j})]라는 조건들이 붙는데 이것은 직선들이 지나는 점 중 [math(x_{j})]축 좌푯값은 [math(p_{j})]로 고정되어야 한다는 것을 나타낸다. 예를 들어 3차원 상에서 [math(a_{z}=0)]이라면, 직선의 방정식은


[math(\displaystyle \frac{x-p_{x}}{a_{x}}=\frac{y-p_{y}}{a_{y}}, \, z=p_{z} )]

으로 기술되고 이것은 [math((x,\,y,\,p_{z}))]의 점을 집합으로 가지는 직선이므로 평면 [math(z=p_{z})] 위의 직선임을 얻는다.

3. 기타

4. 관련 문서


  1. [1] 직선을 유도하는 과정에서 법선 벡터를 쓸 수 있는 것은 2차원 뿐이다.
  2. [2] 정사영 문서의 벡터 사영 문단 참조. 벡터 사영의 크기가 스칼라 사영이다.
  3. [3] 사실 이차항 이상의 고차항이 없기 때문에 해당 도형은 직선만 가능하다.
  4. [4] 교점에서 [math(a \alpha+b \beta+c=0,\, a' \alpha+b' \beta+c'=0)]이 성립함을 상기하라.
  5. [5] 우리가 일상생활에서 말하는 직선은 대부분 유한한 길이를 가지고 있다. 게다가 무한히 얇지도 않은 경우가 대다수이다.

분류

CC BY-NC-SA 2.0 KR(일반 뷰)