로그 적분 함수

1. 개요
2. 지수 적분 함수와의 관계
3. 관련 문서

1. 개요

로그 적분 함수(Logarithmic Integral function)특수함수의 하나로, [math(\mathrm{li}(x))]로 표기한다. 정의는 다음과 같다.


[math(\displaystyle \mathrm{li}(x) \equiv \int_0^x\frac{1}{\ln t}\, \mathrm{d}t)]

로그의 정의에 따라 [math(\ln 1=0)]이기 때문에 [math(x=1)]일 때에는 값이 정의되지 않는다.

이 함수의 그래프는 아래와 같다.

그래프에서 보듯 [math(x > 1)] 범위에서 [math(x)]절편이 하나 존재하는데, 불완전 감마 함수를 이용해 그 값을


[math( \mu \equiv -\Gamma(0,\, -\ln 2) - i \pi)][1]

로 표기할 수 있다.

이 함수는 소수 계량 함수와의 관계가 깊으며, 이것이 소수 정리이다. 따라서 정수론(특히 해석적 정수론)을 공부한다면 반드시 익혀둬야 하는 함수다.[2] 이 소수 정리를 연구하다 보면 최종적으로 마주치는 것이 다름 아닌 리만 가설이다.

이외에도 스큐스 수를 계산하는 데에 쓰이는 함수이기도 하다. 사실 스큐스 수는 위의 소수 정리에서 나온 부산물이다.

적분 범위를 [math([0, \, x])]가 아닌 [math([2, \, x])]로 규정한 경우도 있다.[3] 이럴 경우 특이점인 1이 적분 구간에 포함되지 않는다. 보통은 1을 기점으로 쪼개서 두 적분의 합으로 표현한다.

2. 지수 적분 함수와의 관계

지수 적분 함수와 관련성이 크다. 지수 적분 함수를 이용한 다음과 같은 항등식이 존재한다.


[math( \begin{aligned} \mathrm{li}(x)&=(\mathrm{Ei}\circ\ln)(x)\\&=\mathrm{Ei}\left(\ln(x)\right) \end{aligned})]

이것의 증명[4]은 아래와 같다. 적분


[math( \displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac{1}{\ln t}\, \mathrm{d}t)]

의 분자, 분모에 [math(t)]를 곱하여


[math( \displaystyle \mathrm{li}(x)=\int_0^x\frac{t}{t\ln t}\, \mathrm{d}t)]

꼴로 만들어 [math(\ln{t}\equiv k)]로 치환하면,


[math( \displaystyle \dfrac{\mathrm{d}t}{t}=\mathrm{d}k \qquad \qquad \displaystyle \lim_{t\to 0+}\ln t=-\infty)]

가 성립함에 따라


[math( \displaystyle \begin{aligned} \int_0^x\frac{t}{t\ln t}\,\mathrm{d}t&=\int_{-\infty}^{\ln x}\frac{e^k}{k}\,\mathrm{d}k \\&=\int_{-\infty}^{\ln x}\frac{e^t}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned})]

이 적분은 지수 적분 함수자연로그의 합성함수 꼴이므로


[math( \displaystyle \mathrm{li}(x) = (\mathrm{Ei}\circ\ln)(x))]

로 쓸 수 있음을 얻는다.

3. 관련 문서


  1. [1] 라마누잔-졸트너 상수라는 이름이 붙어 있다. 약 1.451369... 정도이다.
  2. [2] 옛날(가우스와 르장드르가 살아 있었을 시절)에는 [math({x}/{\ln x})]를 썼다.
  3. [3] 사실 2보다는 [math(x)]절편인 [math(\mu)]가 더 걸맞기는 하지만, 이 수는 보다시피 정수가 아닌지라...
  4. [4] 출처

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