부족수

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1. 개요
2. 성질
3. 100보다 작은 부족수 목록

1. 개요

不足數

Deficient number

자연수 n에 대하여, n의 모든 진약수(자신을 제외한 모든 약수)들의 합이 n보다 작다면 n을 부족수라고 한다.[1] 약수 함수(divisor function)를 이용해 나타내면 다음을 만족하는 자연수 n을 말한다.

n>\sigma_1\left(n\right)-n[2]

2. 성질

  • 부족수는 무수히 많다. 모든 소수는 부족수인데, 소수는 무한히 많기 때문이다.
  • 소수의 진약수는 1뿐이므로 모든 소수는 부족수다. 또한 소수의 거듭제곱인 수도 부족수다.
  • 소인수가 2뿐인 모든 수, 즉 2의 거듭제곱수들은 진약수의 합이 자신보다 1 작은 부족수다.[3]
  • 그리고 소인수가 2개뿐인 모든 홀수도 진약수의 합이 자신의 7/8배보다 작은 부족수다.
  • 또한 945가 가장 작은 홀수 과잉수기 때문에 945보다 작은 모든 홀수는 부족수이다.
  • 1의 자리가 1, 3, 7, 9, 다시 말해 10과 서로소이면서 81080보다 작은 자연수는 모두 부족수이다. 이는 10과 서로소인 가장 작은 과잉수가 81081이기 때문.
  • 30과 서로소인 자연수는 일상적인 수준에서 모두 부족수이다. 참고로 6과 서로소인 가장 작은 과잉수는 5,391,411,025[4]며, 30과 서로소인 가장 작은 과잉수는 무려 9,503,592,139,824,772,301,811,642,143[5][6]이다.
  • 참고로, 홀수인 완전수의 존재는 현재 유명한 수학 난제며, 만약에 존재한다면 최소한 10^{1500}보다 커야함이 알려져 있다.
  • 부족수 및 완전수의 진약수들도 부족수다.

3. 100보다 작은 부족수 목록


  1. [1] 또는 n의 모든 약수들의 합이 2n보다 작을 때.
  2. [2] \sigma_1\left(n\right)n의 모든 약수들의 합. 즉, n의 모든 약수의 합에서 n을 빼므로, 진약수의 합이다.
  3. [3] 반대로, 진약수의 합이 자신보다 1 큰 과잉수는 현재까지 밝혀지지 않았으며, 존재하는지조차도 아직 미해결이다.
  4. [4] 53억 9141만 1025로, 소인수분해하면 52×7×11×13×17×19×23×29이며, 진약수의 합은 5,407,897,775이다.
  5. [5] 9503자 5921해 3982경 4772조 3018억 1164만 2143
  6. [6] 소인수분해하면 7×7×11×13×17×19×23×29×31×37×41×43×47×53×59×61×67×71×73이고, 진약수의 합은 9,981,647,097,140,939,728,523,333,857이다.

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