부호 함수

1. 개요
2. 성질
3. 복소 부호 함수
4. 기타

1. 개요

부호 함수의 그래프 개형

부호 함수(sign(um) function)[1]특수함수 중 하나로, 어떤 실수부호를 출력하는 함수이다. 기호로는 [math(\mathrm{sgn}\,x)]로 쓰며, 정의는 아래와 같다.


[math(\displaystyle \mathrm{sgn}\,x \equiv \begin{cases}

\displaystyle \frac{x}{|x|} & \text{ if } x \neq 0 \\

\\

0 & \text{ if } x=0

\end{cases} )]

구체적인 값은 아래와 같다.


[math(\displaystyle \mathrm{sgn}\,x=\begin{cases}

\displaystyle 1 & \text{ if } x>0 \\

\displaystyle 0 & \text{ if } x=0 \\

-1 & \text{ if } x<0

\end{cases} )]

보통 점화식에서 특정항의 부호만을 취할 때 사용되는 함수이다.

2. 성질

  1. 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \mathrm{sgn} \circ \mathrm{sgn}\,a=\mathrm{sgn}\, a )] }}}이 성립한다.
  1. 부호 함수는 홀함수(Odd function, 기함수)이다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \mathrm{sgn} \,x=-\mathrm{sgn}\,(-x) )] }}}이 성립한다.
  1. 계단 함수(Step function)의 일종이다.

  1. 불연속점이 [math(x=0)]에서 존재한다. 따라서
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \begin{aligned} \lim_{x \to 0^{+}} \mathrm{sgn}\, x &=1 \neq 0 \\ \lim_{x \to 0^{-}} \mathrm{sgn}\, x &=-1 \neq 0 \end{aligned})] }}}으로 [math(\displaystyle \lim_{x \to 0} \mathrm{sgn}\, x)]는 정의되지 않는다.
  1. 도함수는 디랙 델타 함수에 2를 곱한 값이다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math( \dfrac{d}{dx} (\mathrm{sgn}\,x) =2 \delta (x))] }}}이다.
  1. 부정 적분은 절댓값 함수이다. 즉,
{{{#!wiki style="text-align: center"
[math(\displaystyle \int \mathrm{sgn}\,x\,dx=|x|+C )] }}}이다.
  1. 정의역이 복소수인 경우는 [math( \{ -1,\,0,\,1 \})]이 아닌 다른 값을 띄게 되는데, 이는 복소수의 절댓값이 실수하고는 다르게 정의[2]되기 때문이다. 다만, 원점과의 거리는 항상 1이 된다.

3. 복소 부호 함수


[math(\displaystyle \mathrm{csgn} \left( z \right) = \begin{cases} \dfrac{\Re(z)}{\|\Re(z)\|} & \mathrm{if} \ \Re(z) \neq 0 \\ \\ \dfrac{\Im(z)}{\|\Im(z)\|} & \mathrm{if} \ \Re(z) =0,\, \Im(z) \neq 0 \\ \\ 0 & \mathrm{if} \ \Re(z) = 0,\, \Im(z) = 0 \end{cases} )]

복소수에서 부호 함수가 '부호 판별'의 기능을 잃어버리기 때문에 복소수에 맞게 재정의한 함수이다.

정의를 보듯, 순허수인 경우에만 허수부의 부호를 판별하고 나머지는 실수부의 부호를 판별한다.

4. 기타

  • 간단한 정의임에도 중등교육과정 이하에서 코빼기도 보이지 않는 함수이다. 대학 과정에서 푸리에 변환을 배울 때 처음 접한다.


  1. [1] Signum이라는 이름이 따로 있는 이유는 Sign과 발음이 같은 Sine과 혼동할 수 있기 때문.
  2. [2] 복소수 [math(z)]에 대하여, [math(|z| = \sqrt{z \overline{z}} = \sqrt{\Re(z)^2+\Im(z)^2})]

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