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1. 개요
2. 응용
3. 사원수군
4. 외부 링크
5. 확장
6. 활용

1. 개요

해밀턴 회로를 발견한 윌리엄 로원 해밀턴이라는 수학자의 물건. 복소수허수 단위 i를 도입했듯 새로운 단위 j, k를 도입한 것이다. 복소수를 도입할 때 x^{2} = -1이라는 대수 방정식의 해로 허수 i를 정의했다. 그렇다면 관점을 살짝 다르게 하여 「허수라고 i^{2}=-1이라는 수를 새로 만들었는데, 그럼 i와는 다르지만 j^{2}= -1인 수를 추가하여 3차원 공간을 표현하는 수를 만들 수는 없을까?」 이러한 관점에서 출발한 것이 사원수군이다.

신기하게도 i, j만 있는 삼원수는 없다. 이는 1, i, j 만으론 이 형성되지 않기 때문이다. 즉, a+bi+cj 라는 삼원수를 제곱하면 ijji라는 새로운 단위가 나오기 때문에 이를 나타내기 위한 또 다른 단위 k가 필요하게 되어 필연적으로 사원수가 만들어진다.

여기서 다음의 허수단위가 정의된다.

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1

당연히 i, j, k가 서로 같지 않다는 조건도 추가로 필요하다.

i \neq j, j \neq k, k \neq i

j, ki와 같이 제곱하면 -1이지만 i와는 다른 단위이며 곱셈의 교환 법칙이 성립하지 않는다. 아래와 같은 식이 성립된다.

jk = -kj = i ki = -ik = j ij = -ji = k

단위사원수의 곱셈을 한 눈에 보기 편하게 표로 정리하면 다음과 같다.

×

1

i

j

k

1

1

i

j

k

i

i

-1

k

-j

j

j

-k

-1

i

k

k

j

-i

-1

사원수를 나타내는 집합은 고안자의 이름을 따서 \mathbb{H} 로 표현한다. \mathbb{Q}는 이미 유리수(Quotient) 집합 표현으로 이미 쓰고 있는지라(...) 어쩔 수가 없다.

2. 응용

\left\{1, i\right\}의 복소수로 좌표를 쓸 수 있듯 사원수군의 원소들을 이용해 좌표처럼 쓸 수 있다.

복소수와 마찬가지로 a+bi+cj+dk로 표현한다. (위의 사원소군의 경우에는 정의되는 연산이 곱셈뿐이지만 여기서는 덧셈과 곱셈을 가지는 (ring) 구조를 가진다; 덧셈에 대해서는 교환법칙이 성립하며, 덧셈과 곱셈 모두 결합법칙이 성립하고, 분배법칙이 있다.) 또한 실수 상수곱(scalar multiplication) 이 당연한 방법으로 정의되며 다른 두 연산과 서로 순서를 바꾸어 계산해도 결과가 같으므로, 이는 실수 체 위의 (1을 갖는) 대수(algebra)가 된다.

R(실수 체)-위의 사원수 대수는 대표적인 central division algebra이며, 19세기 후반(!)에 Frobenius는 이미 실수 체 위의 central division algebra가 실수 체 R과 사원수 대수 H 둘 뿐임을 (유식하게는 Brauer group \text{Br}\left(R\right)Z/2Z로 이해할 수 있음을) 보였다. 이는 실수 계수 이차 형식(quadratic form)을 연구하는 데도 도움이 된다.[1]

또한 복소수가 평면에서의 회전을 나타내는 데 쓰이는 반면[2] 사원수는 공간에서의 회전을 나타내는 데 쓰인다.[3] 구체적인 공식은 다음과 같다.

u = ai+bj+ck 가 공간상의 단위벡터이고 (즉 a^{2}+b^{2}+c^{2}=1)

v= v_{1}i+v_{2}j+v_{3}k 가 공간상의 벡터이면

q = \cos\left(t/2\right) + \sin\left(t/2\right)uq^{-1} = \cos\left(t/2\right) - \sin\left(t/2\right)u에 대해

q v q^{-1}vu를 축으로 t만큼 회전한 결과이다.[4]

실제로 벡터가 수학계에 등장하기 전까지 3차원 공간시스템을 가장 제대로 설명할 수 있었던 유일한 해결책이었고, 이를 제대로 이용한 곳은 이드 소프트웨어였다. 물론 벡터가 나왔다고 사원수가 사장된 건 아니고, 사원수 자체가 벡터의 일종이기 때문에 범위를 확장했다 보면 된다. 실제로도 두 사원수의 벡터곱을 연산하면 행렬이 나온다. 그리고 이 개념이 컴퓨터에 쓰이면서 이 행렬연산만을 전문으로 하는 카드, 즉 그래픽 카드가 탄생하게 되었다. CUDA, OpenCL 등의 GPGPU는 이런 사원수 연산을 3D 연산에서 일반 연산으로 확장시킨 것.

사원수 a + bi + cj + dk 는 당연히 4차 실행렬로도 표현이 가능하다.

\left(\begin{array}{cccc}a \quad b \quad c \quad d \\ -b \quad a \quad -d \quad c \\ -c \quad d \quad a \quad -b \\ -d \quad -c \quad b \quad a\end{array}\right)

2차 복소행렬로도 가능하다.

\left(\begin{array}{cc}a+bi \quad c+di \\ -c+di \quad a-bi\end{array}\right)

3. 사원수군

Q_{8}=\left\{\pm 1, \pm i,\pm j\pm k\right\}는 원소의 개수가 8개인 비가환군[5]이 된다.

4. 외부 링크

5. 확장

사원수는 복소수의 확장이듯이, 사원수도 더 확장하여 팔원수를 만들 수 있다.

그런데, 팔원수로 확장되면 이제는 곱셈의 결합법칙 마저도 성립되지 않는다. 즉, \left(ab\right)c = a\left(bc\right) 라고 쓸 수 없다.[예시] 도대체 이 따위 것을 어디다가 써먹냐 하겠지만, 대수학에서 나타나는 구조들, 예컨대 몇몇 단순 리 대수(simple Lie algebra)를 표현할 때 쓰이기도 한다. 이 때문에 끈이론 같은 최신 물리에서 쓰이기도 한다. 일단 사원수에서 3차원 벡터곱을 유도해 낼 수 있는걸 이용하여, 팔원수에서 7차원 벡터곱을 유도해 낼 수 있으므로 팔원수까지는 수학계에서 사용하고는 한다.

16원수, 32원수, 64원수 등등 이론상 무궁무진(…)하게 만들어낼 수도 있지만[7], 어디까지나 수학적으로 흥미로워야 만들어내는 의미가 있는 것이다. 무엇보다도, 16원수 이상으로 올라가게 되면 제곱수 항등식[8][9][10]이 성립하지 않는다는 것이 증명되어 있기 때문에, ||a\cdot b||=||a||\cdot||b||이라는 중요한 대수적 성질까지 잃어버리게 되므로 사용하지 않는다. 이처럼 16원수 이상은 확장될수록 교환법칙, 결합법칙 같은 너무나 당연한 규칙이 성립하지 않아서 실질적으로 거의 취급되지 않는다. 즉 수학이 무질서해지면서, 수학이 수학이 아니게 되는 것이다.

6. 활용

의외로 사원수를 이용하는 것이 더 효율적이어서 최근에 각광을 받기 시작한 분야가 있는데 뜬금없겠지만 컴퓨터 애니메이션에서 뜨기 시작했다. 아닌 게 아니라 오일러 각 체계 사용 시 발생할 수 있었던 짐벌록(gimbal lock)[11] 현상을 없앨 수 있기 때문이다!

회전 변환을 처리할 때 행렬은 9개 성분을 써야 하지만, 사원수 연산의 경우 4개의 사원수 성분이 필요해서 실제로는 계산량은 더 많다. 다만, 직관적으로 이해하기에 좀더 쉽고 프로그래밍 하기가 편하기에, 계산이야 컴퓨터에게 맡겨 버리는 방법으로 널리 쓰이게 되었다. 컴퓨터의 발전으로 인해서 약간의 계산량 오버헤드는 큰 게 아니게 되었고, GPGPU 같은 것이 등장하며 단순 계산은 엄청난 성능을 뽑아내는 환경이 만들어 졌다.

이런 이유로 인해서, 로봇 팔과 같이 회전 운동이 필요한 상황은 거진 사원수를 이용하여 프로그래밍되어 있다.


  1. [1] 관심 있다면, noncommutative algebra 또는 quadratic form을 다루는 기초 교재에서 더 일반적인 "사원수" 대수를 찾아 보자. T.Y.Lam의 introduction to quadratic forms over fields (GSM series)를 추천. 베고 자기도 좋다.
  2. [2] 평면에 위치한 점을 a+bi로 표현하면, 1을 곱하면 제자리, i를 곱하면 90도 회전, -1을 곱하면 180도 회전, -i를 곱하면 270도 회전.
  3. [3] 책을 들고 앞으로 한번 180도 회전(뒤집기), 옆으로 90도 회전을 해보자. 그런 다음 순서를 바꿔서 옆으로 한 번, 앞으로 한 번 회전한 것과 비교해보면 교환법칙이 성립 안 한다는 것을 볼 수 있다.(게다가 방향도 정 반대로 되어있다.) 교환법칙도 성립 안 하는 저런 복잡한 수체계를 도입하는 이유를 알 수 있을 것이다.
  4. [4] 출처: John Stillwell, Naive Lie Theory, Springer, 2008, section 1.5
  5. [5] 교환법칙이 성립하지 않는 군
  6. [예시] 6.1 \left(e_1e_2\right)e_3=e_4e_3=-e_6\neq e_6=e_1e_5=e_1\left(e_2e_3\right)
  7. [7] 2n 에 해당한다면 만들 수 있다
  8. [8] 오일러가 4개의 수에 대한 네 제곱수 항등식을, 데겐이 8개의 수에 대한 여덟 제곱수 항등식을 발견했고, 이는 후에 사원수와 팔원수에 대한 노름과 연관 있다는 사실이 밝혀졌다.
  9. [9] n개 제곱수 항등식은 \displaystyle{\sum_{k=1}^{n} a_{k}^{2} \sum_{k=1}^{n} b_{k}^{2}}을 n개의 제곱의 합으로 분리하여 표기할 수 있다는 것을 의미한다. 수학적으로 이 항등식은 n=1, 2, 4, 8일때만 존재한다는게 밝혀져 있다.
  10. [10] 1 제곱수 항등식은 a^2b^2=\left(ab\right)^2
    2 제곱수 항등식은 \left(a_{1}^2+a_{2}^2\right)\left(b_{1}^2+b_{2}^2\right)=\left(a_1b_1-a_2b_2\right)^{2}+\left(a_1b_2+a_2b_1\right)^{2}
    1 제곱수 항등식은 실수의 절대값 곱 ||a\cdot b||=||a||\cdot||b||을 고려하면 항상 성립하며, 2 제곱수 항등식은 복소수의 노름 곱 ||\left(a_1+a_2i\right)\cdot\left(b_1+b_2i\right)||=||a_1+a_2i||\cdot||b_1+b_2i||을 고려하면 성립함을 알 수 있다. 마찬가지로 네 제곱수 항등식은 사원수의 노름곱, 여덟 제곱수 항등식은 팔원수의 노름곱에서 유도할 수 있다.
  11. [11] 피치, 롤, 요 중에서 피치 각이 90도일 때, 롤과 요를 나타내는 짐벌이 겹쳐버려, 좌우 움직임 즉 요 움직임을 나타낼 수 없게 되는 현상. 즉 요를 나타내는 짐벌이 잠겨 버리는 현상. 이건 치명적인 문제다!

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