오차함수

  차수가 5인 다항함수에 대한 내용은 다항식 문서를 참조하십시오.

1. 개요
2. 정규분포 표준화 함수
3. 관련 함수
4. 특성

誤差函數 / Error Function

1. 개요

오차함수는 정규분포적분한 누적분포함수와 같은 형태의 함수로, 초월함수의 한 종류로서 다음과 같이 적분방정식으로 정의된다.

Error Function을 줄여서 erf라고 쓴다.

\displaystyle\mathrm{erf}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-{t}^{2}}dt

2. 정규분포 표준화 함수

\displaystyle\int e^{\frac{-x^{2}}{2}}dx는 다음과 같이 구한다.

x=\sqrt{2} t이라고 하면,

\displaystyle\frac{dx}{dt}=\sqrt{2}

\displaystyle\sqrt{2}\int e^{-\frac{\left ( \sqrt{2}t \right )^{2}}{2}}dt

\displaystyle=\sqrt{2}\int e^{\frac{-2t^{2}}{2}}dt

\displaystyle=\sqrt{2}\int e^{-t^{2}}dt

\displaystyle=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\times\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int e^{-t^{2}}dt

\displaystyle=\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\mathrm{erf}\left ( t \right )+C

\displaystyle\frac{x}{\sqrt{2}}=t이므로,

\displaystyle\frac{\sqrt{\pi}}{\sqrt{2}}\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)+C

3. 관련 함수

  • 복소오차함수(imaginary error function)는 이 문서에서 다루는 함수에 x대신 ix를 대입한 함수로, erfi라고 줄여쓰고 다음과 같이 정의된다.

대략적으로 다음과 같은 간단한 치환적분 과정을 거친다.

\displaystyle \text{erfi}\left ( x \right )=-i\text{erf}\left ( ix \right )=\frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{ix}{e}^{-{x}^{2}}dx

\displaystyle ix=t

우리는 \displaystyle x=g\left ( t \right )꼴로 만들어야 하므로 위 식에서 양변을 \displaystyle i로 나누어 주자.

\displaystyle x=\frac{t}{i}=g\left ( t \right )

분모와 분자에 각각 \displaystyle i를 곱해주자.

\displaystyle x=\frac{it}{-1}=g\left ( t \right )

분모와 분자에 각각 -1을 곱해주자.

\displaystyle x=\frac{-it}{1}=-it=g\left ( t \right )

t에 관해서 미분해주자.

\displaystyle -i=g'\left ( t \right )=\frac{dx}{dt}

치환적분식에서 나오는 \displaystyle \alpha \displaystyle \beta를 구해보자.

원식에서 아랫끝은 0이었고 위끝은 \displaystyle ix이었다.새로운 함수 \displaystyle g\left ( t \right )에서 t에 \displaystyle \alpha 를 넣어주면 0이 되고 \displaystyle \beta를 넣어주면 \displaystyle i가 나온다고 해보면...

\displaystyle g\left ( \alpha \right )=-i \alpha=0

너무나도 간단하다.

\displaystyle \alpha=0이다.

\displaystyle g\left ( \beta \right )=-i\beta=ix

\displaystyle \beta=\frac{ix}{-i}=\frac{x}{-1}=-x

최종적으로...

\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{-\left (\frac{t}{i} \right )^{2}}dt

\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{\frac{-{t}^{2}}{-1}}dt

\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{\frac{{t}^{2}}{1}}dt

\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{{t}^{2}}dt

그런데 \displaystyle {e}^{{x}^{2}}\displaystyle f\left ( -x \right )=f\left ( x \right )를 만족한다.

따라서

\displaystyle \int_{-x}^{x}f\left ( x \right )dx=\int_{-x}^{0}f\left ( x \right )dx+\int_{0}^{x}f\left ( x \right )dx=2\int_{0}^{x}f\left ( x \right )dx

이다.

그런데 곰곰히 생각해보면 두 값을 합한 값이 어느 한 값의 2배라는 것은 두 값이 서로 같다는 것을 의미하므로...

\displaystyle \int_{0}^{-x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{{t}^{2}}dt=\int_{0}^{x}\left ( -i \right )\frac{2i}{\sqrt{\pi}}{e}^{{t}^{2}}dt

\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{2i\left ( -i \right )}{\sqrt{\pi}}{e}^{{x}^{2}}dt

\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{-2i\left ( i \right )}{\sqrt{\pi}}{e}^{{x}^{2}}dt

\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{-2\left ( -1 \right )}{\sqrt{\pi}}{e}^{{x}^{2}}dt

\displaystyle \int_{0}^{x}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{{t}^{2}}dt=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt=\text{erfi}\left ( x \right )

  • 여오차함수(complementary error function)는 1에서 오차함수를 뺀 것과 같다.
\displaystyle \mathrm{erfc}\left(x\right)=1-\mathrm{erf}\left(x\right)

이를 적분식으로 표현할 수도 있다.

일단 정규분포 N\left ( a,{b}^{2} \right )를 따를 경우 곡선은 \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}{b}}{e}^{-\frac{\left ( x-a \right )^{2}}{2{b}^{2}}}이고 이 곡선과 x축 사이의 넓이는 1이다.

위식은 여기서 a에 0을,{b}=\sqrt{\frac{1}{2}}를 대입한 것이다.

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx=1이 성립하고

\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}{e}^{-{x}^{2}}dx이다.

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx-\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}{e}^{-{x}^{2}}dx이다.

즉 0~무한대 구간까지의 적분에서 0~x까지의 적분구간을 제외하는 것이다.

정적분의 성질에서 a=0,b=x,c=무한대를 대입하면...

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx=\int_{0}^{x}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx+\int_{x}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx

\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx-\int_{0}^{x}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx=\int_{x}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx

최종적으로는 다음과 같이 표기할 수도 있다.

\displaystyle \int_{x}^{\infty}\frac{2}{\sqrt{\pi}}{e}^{-{x}^{2}}dx=\mathrm{erfc}\left ( x \right )

  • 표준 정규 분포의 누적 분포 함수(cumulative distribution function)는 그래프의 폭과 높이만 바꾸고 평행이동한 것으로, 오차함수와 형태가 같다. \displaystyle\Phi\left(x\right)로 표기한다.
\displaystyle\Phi\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right)

4. 특성

오차함수를 테일러 전개 하면 다음과 같다.

\displaystyle\mathrm{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\ \cdots\right)

\displaystyle e^{-x^2}우함수 이므로, 이를 부정적분하고 적분상수를 0으로 정한 \displaystyle\mathrm{erf}\left(x\right)기함수이다.

모든 복소수에 대해 \displaystyle{\mathrm{erf}\left(\overline{x}\right)}=\overline{\mathrm{erf}\left(x\right)}가 성립한다. (단, \overline{a}a의 켤레복소수)

한편 쌍곡선 함수 중 [math(\tanh)]와 개형이 상당히 닮았다. 이걸 주제로 한 논문까지 나왔을 정도면 말 다 했다.

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