원주율

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1. 개요
2. 상세
3. 새 원주율 타우
4. 값
5. 계산법
6. 원주율 근삿값 계산의 역사

1. 개요

圓周率 / pi / π

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989...

의 지름에 대한 원둘레(원주)의 비. 즉, 지름이 1인 원의 둘레의 길이다. 그리스 문자 π로 표시하는데, 한국 발음으로는 파이이며, 그리스어로 둘레를 뜻하는 페리메트로스(περιμετρος)의 앞자리 π에서 가져왔다고 한다. 최초로 원주율을 π로 표기한 사람은 웨일스의 수학자 윌리엄 존스로, 자신의 저서에 π를 사용하였다. 이후 레온하르트 오일러에 의해 대중화되었다.

원주율은 순환하지 않는 무한소수(무리수)이자 초월수이다. 원주율이 무리수라는 것은 고등학교 수준으로도 충분히 이해 가능한 증명이 있다. 파인만 포인트 등에서 착각할 순 있지만... 그러나 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.

2. 상세

수학 교육과정에서 가장 먼저 만나게 되는 무리수다. 보통 초등학교에서는 6학년 때부터 근삿값으로 3.14를 사용하며, 3, 3.1, \dfrac{22}{7} 같은 수도 사용한다.사실 대부분의 학생들은 3을 원한다. 중학교나 고등학교 올라가면 저런 거 없이 그냥 { \pi } 를 붙이는 것으로 계산 끝.(중학교까지 선행학습을 한 초등학생의 경우에는 파이를 붙이고 싶은 생각이 더 절실해진다.그딴거 없고 그냥 답까지 외워버린다.) 일본의 91대 총리 후쿠다 야스오는 다음과 같은 말을 한 적이 있다.[1]

원주율이 약 3이면 외울 수 있어도 3.14면 외울 수 없다는 생각은 이상합니다. 나는 더 길게 말할 수 있어요. 3.1415926535897932384626433832795….

정수 2개의 비로 표현할 수 없는 무리수이기 때문에 자릿수가 무한하므로 각종 기록들을 양산하기도 한다. 가장 많은 수를 외운 사람이라든가 소수점 새로운 자릿수 계산이라든가 하는 등, 현재 기네스 북에서는 원주율에 관련된 기네스북 기록들이 더러 있다. 그 예로 소수점 이하 수백 자리까지 외우고 다니는 사람이 간혹 있을지도 모른다 파인만 포인트는 애시당초 리처드 파인만이 자기는 762자리까지 외운다면서 나온 수이고, 현재까지 인정된 기네스 공식 세계 기록은 중국인 차오 루의 6만 7890자리.[2] 일본인 하라구치 아키라의 기록으로는 8만 3431자리까지 외웠다고 하는데 이건 공식적으로 인정된 기록은 아니다.

하지만 실제로 소수점 이하 10자리 이상 쓰는 경우는 거의 없다.[3] 디지털 시스템에서 무리수를 사용할 방법이 없기 때문이다. 이게 가능하려면 해당 시스템이 무한한 정밀도를 표현할 수 있어야 한다. 실제로 이공계에서는 3.14159까지 소수점 다섯째 자리까지 사용하는 것이 일반적이고, 좀 가볍게 외우면 3.141592까지 외운다.[4] 참고로 1415년에도 그 유명한 백년전쟁아쟁쿠르 전투가 있어 파이는 피비린내 나는 전쟁으로 시작한다.란 농담이 나오게 되었다.

3월 14일의 진정한 의미라고 할 수 있겠다. 이 파이의 날을 기념해 진짜 파이를 먹는 사람들도 있다. 이 날은 원주율을 기념하기 위한 기념일이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값 3.14을 기준으로 하여 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다. 3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이자 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 그들의 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 흔히들 상상하는 것처럼 보통 파이(pie)를(...) 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율 외우기 대회가 열린다. 매사추세츠 공대(MIT)의 경우는 매년 합격자 발표일이 3월 14일이다. 그리고 새원주율 을 기념하여 6시 28분에 발표한다.

분수 7분의 22가 \pi의 근삿값이므로 파이 근삿값의 날은 7월 22일이다.

공대에서는 삼각함수와 엮어서 매우 다양하게 사용한다. 특히 전자나 통신 계열에서는 한 학기의 절반은 π와 함께 보낸다. 그리고 대부분의 시간을 e와 함께 보낸다. 그러다가, 오일러 공식e^{ix} = \cos{x} + i \sin{x}로 인해서 복소수, e, 삼각함수, 지수함수가 아예 세트로 묶여 다닌다. 예를 들어, 해석학 교재인 PMA에서는 지수함수를 무한급수로 정의한 후 ix를 대입한 실수/허수부를 각각 cosx, sinx로 정의하고 cosx의 최소 양근의 2배를 π로 정의한다.

원주율 \pi (또는 \tau)와 자연상수 e와 복소수 i 간에는 e^{i\pi} + 1 = 0 (또는 e^{i\tau} = 1)의 관계가 성립한다. 이를 오일러 등식이라고 하며, 수학의 아름다움을 극명하게 나타내 주는 식으로 유명하다. 오일러의 공식에 x = \pi 또는 \tau를 대입하면 나오는 결과다. 이를 이용해서 \pi = - i \ln(-1)임을 알 수 있다.

3. 새 원주율 타우

자세한 내용은 타우 문서 참조. 2017년 Python 3.6에 추가되었다고 한다.

원주율 파이는 부자연스럽게 정의되므로 2\pi=6.2831...의 새로운 값을 가지는 상수를 사용해야 한다고 주장하는 수학자들이 있다.[5] 실제로 은 반지름으로 정의되기에 반지름 대 원주의 비로 정의되는 이 상수가 원주율로서 더 적합하다고 한다. 이들은 기념일도 3월 14일 대신 이의 2배인 6월 28일에 원주율을 기념한다. 이 상수를 이용하면 원주의 길이는 \tau r, 원의 넓이는 \frac{1}{2} \tau r^2, 구의 겉면적은 2 \tau r^2, 구의 부피는 \frac{2}{3} \tau r^3이 된다.

4. 값

이 사이트에서 특정 문자열이 원주율의 몇 번째 자리에서 등장하는지 검색할 수 있다. 2억 번째 자리까지 지원하므로, 파인만 포인트 찾으려고 999999 입력하는 것 정도는 순식간에 처리한다.

도 있고, 새 원주율(타우) 버전도 있다.

위의 수에서 뭔가 규칙을 찾아냈다면 높은 확률로 당신의 착각이다. 첫자리 3을 포함하여 359, 360, 361번째 수는 각각 3, 6, 0이고, 몇 십억 혹은 조 자리까지 뒤로 가면 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0이 순서대로 나오는 등 흥미로운 숫자 조합이 많이 나오지만 이런 예들은 어디까지나 10진법 표기에 의해 일어난 현상일 뿐 전혀 수학적인 규칙이 아니다.[6] #뉴턴 포스트

만약 발견한 것이 '꽤 오래 반복되는' 순환소수 부분이라면 파이를 조금 더 근사치에 가까운 유리수처럼 표기할 방법이 생기므로 미미한 의미가 있다. 가장 유명한 예로 762번째부터 767번째까지 9가 연달아 나오며, 이 부분을 파인만 포인트라 부른다.[7]

콘택트의 마지막 장면에선 우주의 창조자가 한 없이 긴 원주율의 소숫점 뒷자리에 숨겨놓은 규칙성과 메시지들을 발견했다.

더 지니어스:그랜드 파이널/5화 메인매치에서 4자리씩 120자리까지 제시됐다.

이 문단의 내용 중 일부는 원주율/값 문서의 r139 판, 1번째 문단에서 가져왔습니다. 이전 역사 보러 가기

5. 계산법

원주율의 값을 계산하는 방법도 여러 가지가 있다. 보통 무한급수를 이용하는데, 원주율과 관련된 무한급수 또는 무한곱으로 다음과 같은 것들이 있다.

발견년도

발견자

수식

1593

François Viète

1655

John Wallis

1671(1674)

제임스 그레고리(라이프니츠)[8]

\pi= 4\displaystyle \sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^{n}}{2n+1}

1735

오일러

\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^2}}[9]

\displaystyle \frac{\pi^2}{8}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{(1+2n)^2}} [10]

\displaystyle \frac{\pi^2}{12}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}}

1914

스리니바사 라마누잔

\displaystyle \frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum_ {n=0}^{\infty} {\frac {(4n)!(1103+26390n)}{{(n!)^4}{396^{4^n}}}}

테일러 시리즈를 이용한 기계적인 증명이 아니라, 기하학적인 증명은 다음 영상을 참고.

- John Wallis의 공식, https://youtu.be/8GPy_UMV-08

- Leibniz의 공식, https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY[11][12]

- Euler의 공식, https://youtu.be/d-o3eB9sfls [13]

6. 원주율 근삿값 계산의 역사

자세한 사항은 항목 참조.

7. 기억술

몇 가지 외우는 방법이 나와 있지만, 원주율을 소수점 아래 열네 자리까지 암기할 수 있는 다음 영어 문장이 가장 유명하다. 각 단어의 철자 수에 주목.

How I want a drink, alcoholic of course after the heavy lectures involving quantum mechanics!

(양자역학을 포함한 어려운 강의 후에는 얼마나 한 잔이 하고 싶은지!)

위 문장의 철자 수를 배열해보면 3.14159 26535 8979가 된다.

오르(A. C. Or)라는 사람이 만든 시도 있다.

Now I, even I, would celebrate

In rhymes unapt, the great

Immortal Syracusan, rivaled nevermore,

Who in his wondrous lore,

Passed on before,

Left men his guidance

How to circles mensurate...

(번역)

심지어 나 같은 이라도, 서툰 운율로라도,

더 이상 견줄 사람 없을

영원불멸의 시라쿠사인을 찬양하리다.

우리에게 전승되었던

훌륭한 이야기 속에

사람들에게 방법을 남겨 주었지

어떻게 측정을 원[14] 하는지를...

이 역시 철자 수를 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279(30자리)이 된다.

과학쟁이라는 과학 잡지는 이러한 문장을 만들었다.

"돌고래가 모직 남방 만들며 아침 산책 도는 동안 럭비나 봐라."

이건 다음과 같이 글자의 초성을 숫자로 바꾼다.

ㅈ/ㅊ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

숫자로 환산하면 3.14159 26535 89793 23846 264(23자리)가 된다.

다행히 원주율의 소수점 32자리 숫자는 0이므로, 각 자릿수를 하나의 단어로 대용하는 규칙을 사용하면서 문장을 32단어 이상으로 확장할 수 없다.

하지만 그저 말장난에 불과한게, 저걸 외우느니 그냥 생으로 숫자 암기하는게 낫다(...)

8. 트리비아

수학자 1: 그러면 그것(원주율)을 '3과 조금 더'라고 부릅시다.

수학자 2: 별로 좋은 이름 같진 않은데요.

수학자 3: '파이'라고 부르는 게 어떨까요?

수학자 1,2: 파이? 왜죠?[17]

수학자 3: (쩝쩝거리며 파이를 먹는다.) 왜라니요? 원도 둥글고 파이도 둥그니까, 파이라고 하면 되지요!

해설: 대략 이런 과정을 통해 π가 생겨났을 것이다(...).

  • 한자 兀(우뚝할 올)이랑 기호가 비슷하다.


  1. [1] 사실 후쿠다 전 총리의 이 발언은 사교육 기관의 허위 광고로 인한 오해에서 비롯된 것이다. 당시의 교과서나 교육 지침에 원주율을 약 3으로 가르친 적이 없다. 실제로는 '원주율은 원의 지름에 대한 원주의 비로 약 3.141592...이다. 다만, 소수점 이하의 곱셈이 초등학생에게는 필요 이상으로 복잡하므로, 초등학생 대상의 문제에 한해서 원주율을 3으로 해서 계산하라는 조건이 달린 문제를 출제할 수 있다.'라고 했을 뿐이다. 이를 사교육 기관들이 '당신의 아이들이 원주율을 3으로 알게 됩니다.'라고 왜곡 광고를 하기 시작했고, 이로 인해 많은 사람들이 학교에서 원주율을 3으로 가르치는 것으로 오해하게 된 것이다.
  2. [2] 최근 EBS다큐프라임 넘버스 1부 '하늘의 수 - \pi'에 출현하여 당시 기록을 세웠을 때의 일화를 소개하였다.
  3. [3] NASA가 우주선의 달 착륙에 관련된 계산을 할 때도 5자리 정도로 충분했다.
  4. [4] 이건 1592년이란 숫자 자체가 임진왜란이 일어난 연도이므로 외우기 쉽다는 것에 기인한다는 말도 있다. (원래 알고 있던 3.14 + 임진왜란의 발발 년도 1592 = 3.141592)
  5. [5] 한 미국 물리학자의 파이 반박문, 우리나라 뉴스
  6. [6] 다른 예로, 초월수가 실존함을 보이기 위해 자연수를 일렬로 늘어놓고 앞에 소수점 하나 찍어서 (0.12345678910111213...) 초월수를 만들어내기도 했다.
  7. [7] 여담으로 172,330,850 ~ 172,330,858번째까지 자리엔 0이 연속 8번이나 나오며, 24,658,601 ~ 24,658,609번째 자리엔 7이 무려 연속 9번 나온다. 이는 전체를 통틀어 가장 처음으로 9번 연속된 숫자다.
  8. [8] 제임스 그리고리가 발견한 공식을 라이프니츠가 살짝 수정해서 이 공식을 유도해냈다.
  9. [9] Basel 문제라는 빛의 세기에 관한 문제를 해결하면서 우연히 발견. 즉, 자연수 제곱의 역수들의 합을 계산하려고 하니 우연치 않게 원주율이 나왔던 것.
  10. [10] 기하학적인 의미로 따졌을 때 바로 위의 공식보다 더 근본적인 공식으로, 이 식을 이용하여 위의 식을 곧바로 유도 할 수 있다.
  11. [11] 원의 면적과 복소평면에서의 소수의 규칙성을 이용하여 유도/증명
  12. [12] 소수, 복소수에 대한 이해가 필요
  13. [13] 원 상에 존재하는 거리에와 피타고라스 정리를 이용하여 유도/증명
  14. [14] 원문의 마지막 줄은 'How to mensurate circles(어떻게 원을 측정하는지를)'이 되어야 맞다.
  15. [15] 맨 마지막에 10,239자리까지 나오지만 소수점도 1자리로(...) 치고 카운팅을 했기에 10,238자리이다.
  16. [16] 40초 쯤에 '...5105820974944...'가 맞으나 '...51058204944...'라고 나와있다.
  17. [17] 원문에서는 Pi? Why?라고 운율이 만들어지는 것도 소소한 포인트.

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