유리수

수 체계

복소수

실수

허수

유리수

무리수

정수

정수가
아닌
유리수

양의 정수
(자연수)

0

음의 정수

한자: 有理數[1]

일본어: 有理数

영어: rational number

1. 정의
2. 유리수의 소수표현
3. 조밀성과 완비성
4. 유리수 = 잘못된 번역?
5. 동음이의어

1. 정의

정수 m, n(n ≠ 0)의 몫 \displaystyle {m \over n} 으로 나타낼 수 있는 . 유리수의 집합은 몫을 뜻하는 Quotient [2] 에서 \mathbb{Q}로 나타낸다. 유리수는 (0으로 나누는 것을 제외한) 사칙연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대해 닫혀있는 '최소의' 집합이기도 하다. 그래서 체 중에 가장 작은 체라고 소체(prime field)라고 한다.[3] 지수 연산에 대해서는 닫혀 있지 않다. 예를 들면, \displaystyle \left(1 \over 2\right)^{1 \over 2} = {1 \over \sqrt{2}} \notin \mathbb Q , \displaystyle \left( - {2 \over 3} \right) ^{1 \over 2} = i \sqrt{{2 \over 3}} \notin \mathbb Q

임의의 정수\displaystyle {n \over 1}로 나타낼 수 있으므로 유리수이고, 정수가 아닌 유리수는 소수 표현의 형태로 구분할 수 있다.

다시 정리하면 모든 정수는 유리수이고,정수가 아닌 유리수는 분수 혹은 소수로 나타낼 수 있다.

2. 유리수의 소수표현

정수가 아닌 유리수 x = {m \over n} 을 나눗셈을 통해 소수로 표현하면 유한한 자리에서 나눗셈이 끝나거나(유한소수) / 일정 자리 이후로 특정 패턴이 반복되거나(순환하는 무한소수) 의 둘로 구분된다. 역으로, 유한소수나 순환하는 무한소수로 나타나는 소수는 유리수가 된다.

  • 유한소수

자리수가 유한한 소수는 분모가 10의 거듭제곱꼴인 분수로 나타낼 수 있다. 예를 들어 0.125 = {125 \over 1000} 이런 식. 역으로 어떤 분수의 분모를 통분해서 10의 거듭제곱꼴로 나타낼 수 있다면[4], 그 분수는 {1 \over 8} = {125 \over 1000} = 0.125 와 같은 식으로 유한소수로 나타낼 수 있다.

  • 순환하는 무한소수

순환하는 무한소수의 경우 반복되는 최소단위를 순환마디라 한다. 위에서 예로 든 {1 \over 7} \approx 0.1428571... 의 경우 순환마디는 142857, {1 \over 6} \approx 0.16666... 의 경우는 6이 된다. 순환마디가 소수점 아래부터 바로 시작하는 {1 \over 7} 와 같이 순환하는 무한소수를 '순(純)순환소수', 그렇지 않은 {1 \over 6} 같이 순환하는 무한소수를 '혼(混)순환소수'라 한다. 기약분수로 나타냈을 때 분모가 10과 서로소이면 순순환소수이고, 그렇지 않으면 혼순환소수가 된다.

주의할 점이라면 0.101001000100001... 같은 수는 순환소수가 아니라는 점이다. 순환소수가 되려면 일정한 폭의 순환마디를 가지고 있어야 하는데 이건 그렇지 못하기 때문. 아래의 '순환하지 않는 무한소수'임은 물론, 대수적인 수[5]도 아닌 초월수에 속한다.

나눗셈 x = \frac{m}{n}이 유한자리에서 끝나지 않는다면, 일정 자리 이후로 특정 패턴이 반복되어야 한다. 우리가 흔히 소수의 나눗셈을 하는 방식에 따르면, 나눠지는 수(피제수)의 소숫점 아래자리에서 나누는 수의 배수만큼을 덜어내고, 그 나머지를 다시 나누게 된다. 하지만 나누는 수가 n이면 나머지는 0부터 n-1까지 n개만이 가능하고, 같은 나머지가 나오면 그 뒤로의 나눗셈의 과정은 똑같기 때문에 반복되는 패턴이 생기는 것. [6] 역으로 순환하는 소수는 반드시 분수로 나타낼 수 있다. [7]

유리수가 반드시 순환소수로 표현된다는 위의 설명이 불충분하게 느껴진다면 다음과 같은 더 강력한 방법을 쓸 수도 있다. 임의의 정수 m와 (0이 아닌) 자연수 n에 대해 \frac{m}{n}이 순환소수임을 표현하고 싶다면 사실 어떤 정수 a와 자연수 r, s가 존재하여 \frac{a}{10^s ( 10^r - 1 )}와 같은 꼴로 써짐을 보이는 것과 동일하다.[8] 왜냐하면 \frac{1}{10^r - 1} = 1/10^r + 1/10^{2r} + 1/10^{3r} + \cdots가 되기에 다음과 같은 표현이 되기 때문이다.

\frac{m}{n} = \frac{c}{10^s} + \frac{1}{10^s} \left( \frac{d}{10^r} + \frac{d}{10^{2r}} + \frac{d}{10^{3r}} + \cdots \right).

여기서 c, d는 각각 a10^r - 1로 나눠서 얻은 몫과 나머지이다. 이때 d가 바로 순환구간에 해당한다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 1/7 = 0.142857142857142857\cdots 같은 경우 r = 6, s = 0, c = 0, d = 142857이고 67/55 = 1.2181818\cdots 같은 경우 욕 아니다 r = 2, s = 1, c = 12, d = 18이다.

한편, 여기서 s = 0, c = 0인 경우만 다뤄도 충분하다. 어차피 순환소수에 10의 거듭제곱을 곱하는 것과 정수를 더해 봐야 순환소수가 나오고 rd는 바뀌지 않기 때문에, 즉 순환구간의 길이와 내용이 바뀌지 않기 때문에 그렇다. 즉, 어차피 모든 혼순환소수는 어떤 순순환소수에 10의 거듭제곱을 곱한 것과 적당한 정수를 더한 것과 같기에 순순환소수만 다뤄도 충분하기 때문인 것이다. 물론 m이 양의 정수이어도 상관없다. 또한 n가 2와 5에 대해 서로소인 경우만 다뤄도 충분하다. 만약 그렇지 않다면 분자와 분모에 적당한 2와 5의 거듭제곱을 곱해 줘 2^k 5^l n = 10^q n'이고 n'이 2, 5와 서로소인 자연수 q, n'를 찾을 수 있는데, 이는 s = q인 경우가 되어 혼순환소수이기 때문이다. 위의 67/55의 경우가 한 예이겠다. 그리고 당연히 n' = 1인 경우는 고려하지 않아도 된다. 따라서 주어진 문제는 n이 2와 5에 대해 서로소이면서 1보다 큰 자연수이고 m이 0보다 크고 n보다 작은 자연수인 경우로 좁혀진다. 이렇게 정리하면 우리의 목표는 결국 \frac{m}{n} = \frac{a}{10^r - 1}인 자연수 a, r를 찾는 것으로 좁혀진다.

이걸 확실하게 풀기 위해선 페르마의 소정리에 대한 오일러의 일반화가 필요하다. 이 명제는 다음과 같이 주어진다.

서로소인 두 자연수 a, n에 대해 a^{\varphi(n)} (\varphi(n)는 오일러의 \varphi-함수[9])를 n으로 나눈 나머지는 1이다.

이 정리에서 a = 10로 놓으면 이걸 알 수 있다. 앞서 놓은 가정에 의하여 n는 10과 서로소인데, 따라서 적당한 자연수 r이 존재하여[10] 10^r -1n의 배수이다. 이를 다르게 쓰자면 어떤 자연수 r, q가 존재하여 nq = 10^r - 1와 같다는 것이다. 따라서 다음이 성립한다.

\frac{m}{n} = \frac{mq}{nq} = \frac{mq}{10^r - 1}.

이것은 정확히 우리가 원하던 꼴이다. 결국 모든 유리수는 순환소수라는 것을 증명하였다.

  • 순환하지 않는 무한소수?

유리수는 오로지 유한소수이거나 순환하는 무한소수 뿐이므로, 여기에 해당하는 수는 유리수가 아님을 알 수 있다. 자세한 것은 무리수 참조.

3. 조밀성과 완비성

임의의 두 유리수 a < b 사이에는 항상 유리수 c가 있다. 따라서 수직선에서 유리수는 아무리 작은 선분에도 항상 존재하는데, 이를 유리수의 조밀성이라 한다. 하지만 유리수가 이렇게 조밀하게 있는데도, 유리수가 아닌 무리수들도 조밀성을 만족한다. 즉, 서로 다른 두 무리수 사이에는 항상 또 다른 무리수가 존재한다. 심지어 무리수 쪽이 훨씬 조밀하다. 즉 수직선 위의 유리수는 빽빽하게 들어차 있는데도 빈틈투성이인 이상한 세계인 것이다.

수직선이 빈틈을 허용하지 않는다는 성질은 '완비성(completeness)'이라 부르는데, 이 완비성의 정의는 꽤나 복잡하다. 수 체계 항목 참고.

4. 유리수 = 잘못된 번역?

'유리수'라는 명칭은 잘못된 번역이라는 주장이 있다.

이유는 유리수의 영어 명칭인 'rational number'을 일본 수학계에서는 rational을 '합리적인'이라는 뜻으로 번역해 有理數라고 불러서 이것이 그대로 대한민국으로 넘어온 것인데, 'rational'과 'number'로 나누어 번역하는 것은 잘못된 번역이고 'ratio(비)-nal', 'number'로 나누어 번역해 '유비수'라고 해야 한다는 것이 이쪽의 주장. 사실 유리수 자체가 비(분수꼴)로 나타낼 수 있는 수를 뜻하므로 이쪽도 일리있는 주장이다. 무리수도 똑같은 이유로 '무비수'라고 해야 한다는 것.

재미있는 사실은 ratio, rational, irrational 모두 라틴어 ratio, rationalis, irrationalis에서 유래한 단어인데 역사적으로 가장 먼저 등장한 것은 ratio가 아니고 irrationalis이다.[11] 이 세상 모든 수는 두 수의 비로 나타낼 수 있다고 생각했던 고대 그리스 시대[12]에 아리스토텔레스가 \displaystyle \sqrt{2}는 비로 나타낼 수 없음(incommensurable)을 증명하고 이를 'irrationalis'라고 한 것이 최초인데 이 당시에도 irrationalis는 '도리에 어긋난', '비합리적인'이라는 뜻이었다.[13] 그러다가 피타고라스 학파 출신 아르키타스(Archytas)의 제자 에우독소스(Eudoxus)[14]irrationalis라는 단어에 '비로 나타낼 수 없는'이라는 뜻을 재정립하였고[15], 이 단어로부터 rationalis(비로 나타낼 수 있는), ratio(비) 가 만들어지게 된다. 그렇기에 수학 용어로서 rational number는 '유비수', irrational number는 '무비수'로 번역해야 맞는다.

다만 위 주장을 반박하여 'rational'이 '합리적인'이라는 뜻을 갖고 있으므로 무리수에 반해 합리적으로 나타낼 수 있는 수여서 유리수가 맞다는 주장도 있다. 게다가 지금까지 '유리수'라는 명칭을 사용해왔기에 유리수를 유비수로 바꾸면 그에 따른 대학민국 수학계에 올 혼란을 감안하면 과연 유비수로 명칭을 바꾸는 것이 좋은 선택이기만 한 것인지 미지수다..

5. 동음이의어

遊離水. 생체나 토양에 함유된 수분 가운데서 자유로이 이동이 가능한 . 생체 반응이나 영양물ㆍ이온의 수송 따위에 중요한 역할을 한다. ‘자유수’(自由水)로 순화.


  1. [1] 일본 수학계에서 유리수의 rational을 '합리적인'으로 번역한 有理數라는 명칭은 번역의 오류이므로 유비수(有比數)라는 용어를 써야 한다는 주장이 있다. 자세한 것은 후술.
  2. [2] 정확히는 영어가 아니라 독일어 Quotient 에서 따온 것이다. 이 단어는 영어와 철자와 뜻이 동일하다.
  3. [3] 그런데 더 작은 소체도 있다. 임의의 소수 p에 대해 0, 1, 2, ..., p - 1을 모은 집합에 덧셈과 곱셈을 정수에서의 연산과 같게 하되, p로 나눈 나머지만 갖도록 하면 나누기도 잘 정의된다. 또한 이렇게 해서 정의된 체는 같은 수를 p번 연거푸 더했을 때 0이 되는 모든 체가 포함하는 체(이런 체를 가리켜 characteristic이 p인 체라고 부른다)이기에 {0, 1, 2, ..., p - 1} 역시 소체가 된다. 이 세계는 유리수 같은 것과 관련이 있는 체들과 제법 다른 세계이다. 수 체계 참고.
  4. [4] 즉 기약분수꼴의 분모가 2나 5만을 소인수로 가지면
  5. [5] 유한개의 항으로 나타낼 수 있는 방정식이 있는 수
  6. [6] 말은 어렵게 했지만, 직접 나눗셈을 해 보면 바로 이해할 수 있다!
  7. [7] 엄밀한 증명을 위해서는 무한등비급수의 합(극한)을 생각해야 하지만, 보통 수준에서는 10(순환마디길이) 을 곱해 비교하는 중2 교과서의 설명으로 충분하다.
  8. [8] 사실 우변과 이어지는 내용들에 쓰인 10들을 1보다 큰 다른 자연수로 바꿔 써도 아래에 기술된 내용들은 변하는 게 없다. 단지 2와 5에 대해 서로소인 것을 말할 때 쓴 2와 5를 새로운 자연수의 약수가 되는 소수들로 바꾸기만 하면 된다. 그래도 논리는 그대로 유지된다. 이로부터 얻을 수 있는 게 뭐냐면 10진법이 아닌 다른 진법에서도 모든 유리수는 순환소수로 표현된다는 것이다.
  9. [9] 그냥 뭔가 자연수인가보다라고 넘어가도 무방하다. 사실 이 함수의 값은 0과 n 사이의 자연수들 중에서 n과 서로소인 자연수들의 개수로 정의된다, 구체적으로 n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_s^{r_s}과 같이 소인수분해가 되었을 때 \varphi(n) = (p_1 - 1)(p_2 - 1) \cdots (p_s - 1) p_1^{r_1 - 1} p_2^{r_2 - 1} \cdots p_s^{r_s - 1}으로 쓸 수 있다.
  10. [10] 이때 r은 최소한 \varphi(n) 한 가지 정도는 될 수 있다는 것이다.
  11. [11] 이렇게 복잡해보이는 단어에서 간단한 단어가 만들어지는 것을 역성법이라고 한다. 그렇게 드문 현상은 아니다.
  12. [12] 전술했듯이 irrationalis가 먼저 등장했으므로 이 당시 라틴어 ratio엔 '비(比)'라는 뜻이 없었다. ratio는 계산(computation)을 의미했고, 비를 의미하는 단어로는 proportio가 쓰였다. 눈치가 빠른 위키러는 알겠지만 영어 proportion의 어원이다.
  13. [13] 무리수 문서에서도 알 수 있듯이 \displaystyle \sqrt{2}는 이처럼 비합리적인 수였기 때문에 발견 당시에 수로 인정받지 못했다.
  14. [14] 플라톤의 제자이기도 하다.
  15. [15] 에우클레이데스의 원론 제 5권에 등장한다.

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