절댓값

1. 개요
2. 상세

Absolute Value

1. 개요

'절대치'라고도 불리는 함수계의 적들 중 하나. 절대값으로 부르던 시절이 있었으나 사이시옷 규정에 맞게 절댓값으로 부르게 되었다. 위상수학적으로 말하면 유클리드 거리공간에서의 노름.

2. 상세

원 개념은 '음수양수에 관계없이 수직선에서 원점으로부터의 거리로 나타내보자!'이다. 실제의 거리는 절대 음수로 나타낼 수 없으므로[1]

|\pm x| = x \, \mathrm{sgn}(x) = |x|\geq 0

실수 x에 대해

  • x>0이면 x는 +가 되므로, |x| = x
  • x<0이면 x는 -가 되므로, 부호를 바꾸어 +로 만들어야 한다. 따라서 |x| = -x
  • x=0이면 x는 0이 되므로, |x| = 0[2]
  • 매끄럽다. 즉 미분, 적분을 무한번 할 수 있다.

실수의 경우 부호만 알면 쉽게 제거할 수 있다. 따라서 절댓값은 항상 0보다 크거나 같고, 0의 절댓값은 0이다.

중등 수학 1학년 1학기에서 처음 배우는 내용이며 처음 배울 때 왜 -x가 양수가 되는 경우가 존재하는지 이해하지 못하는 학생이 많다. -는 수의 부호를 바꿔주는 의미가 있다는 사실을 숙지하고 있으면, 음수에 -를 붙이면 양수가 된다는 사실을 쉽게 받아들일 수 있다. 마이너스 표시만 있다고 무조건 음수가 되는 게 아니다!

주로 나오는 유형은

  • 함수 전체에 절댓값이 있는경우: 예) [math(y=|x^2+5x+6|)] 그래프를 그려서 y<0인 부분은 y=0에 대칭이동 시킨다.
  • 변수가 절댓값인 경우: 예) [math(y=|x|^2+5|x|+6)]에 x를 넣고 x≥0인 부분을 x=0에 대칭이동 시킨다.
  • 각각에 절댓값이 있는 경우 : 예) [math(|x|+2|y|=4)] (마름모) 1사분면 (x,y축의 양의 방향 포함)의 모양을 x=0, y=0, 원점에 대칭이동 시킨다.
  • 절댓값 안이 다른경우: 예) [math(y=|x-5|+|x+5|)] 절댓값안이 0이 나오는 값(여기선 x=±5)를 경계로 나누어서 푼다. [math(x<-5)] 면 [math(-2x, -5<x≤5)] 면 [math(10, x≥5)] 면 [math(2x)]

함수 자체는 간단한 경우가 많으므로 그래프로도 쉽게 풀 수 있다. 실수가 정의역일 경우 그래프는 V자를 그리는 짝함수의 형태이다.

수능 기출에도 종종 등장하는 등 절댓값은 중요하니 챙겨주자. 또 절댓값의 원리는 루트, 제곱에서도 등장하니 잘 알아두는 게 좋다.

이 '원점으로부터의 거리'라는 절댓값의 정의를 이용하여 복소수에도 절댓값을 도입할 수 있다. z = a+bi ( i 는 허수단위)꼴의 복소수는 복소평면 상의 (a, b)라는 점으로 나타낼 수 있는데, 이 점과 원점 사이의 거리 \sqrt{ \Re(z)^2 + \Im(z)^2} = \sqrt{ a^2 + b^2} 이 복소수의 절댓값이 되는 것이다. 이 값은 \sqrt{z\bar{z}} 와 같다. \bar{z} z 의 켤레 복소수 a-bi 이다.

집합의 절댓값은 해당 집합에 딸려 있는 원소의 개수를 뜻한다. 무한집합의 경우에도 성립한다.

행렬에도 절댓값을 정의할 수 있는데 이는 행렬식으로 나타낼 수 있다. 자세한 사항은 행렬식 참조.


  1. [1] 대표적인 예가 삼각함수의 사분면에 따른 삼각함수의 음수 양수 여부다. 비록 x 좌표값과 y 좌표값은 음수가 될 수 있지만, 그 빗변(다시 말해 분모)은 절대 음수가 될 수 없으므로 사분면에 따른 사인과 코사인의 음,양수가 다양하게 된다.(탄젠트는 x, y 좌표값에만 영향을 받는다.)
  2. [2] 그냥 부등호를 0≤x와 0>x로 나누는게 계산하기 편하다.
  3. [3] [math(\dfrac{d}{dx}|x| = \mathrm{sgn}(x), \dfrac{d^2}{dx^2}|x| = \dfrac{d}{dx}\mathrm{sgn}(x) = 2\delta(x))]
  4. [4] [math(\displaystyle \int |x| = \frac{x^2}{2} \mathrm{sgn} \left( x \right) + C)]
  5. [5] n번 적분한 함수는 적분 상수를 0으로 두고 계산하면 [math(\dfrac{x^{n}}{(n+1)!}|x|)] 또는 [math(\dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}\mathrm{sgn}(x))] 이 된다.

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