정다면체

고른 다면체 Uniform Polyhedra

정다면체
Regular Polyhedra

준정다면체
Quasiregular Polyhedra

반정다면체
Semiregular Polyhedra

볼록 정다면체
Platonic Solids

오목 정다면체
Kepler-Poinsot Polyhedra

오목 준정다면체

아르키메데스 다면체
Archimedean Solids

각기둥

엇각기둥

오목 반정다면체

고르지 않은 다면체 Non-uniform Polyhedra

존슨 다면체
Johnson Solids

카탈란 다면체
Catalan Solids

다각뿔
Pyramids

쌍다각뿔
Dipyramids

엇쌍다각뿔
Trapezohedron

정다면체
Regular Polyhedra

볼록 정다면체
Platonic Solids

오목 정다면체
Kepler-Poinsot Polyhedra

정사면체

정육면체, 정팔면체

정십이면체, 정이십면체

작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체

큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체

1. 개요
2. 볼록 정다면체
3. 성질
4. 오목 정다면체
5. 선과 점의 개수

1. 개요

正多面體/Regular Polyhedron

기하학에 등장하는 3차원 도형의 일종.

흔히 플라톤의 다면체라고 말하는 볼록 정다면체 5종과 일상적으로는 정다면체라고 부르지 않는 오목 정다면체 4종까지 일컫는 말.[1] 예로부터 정다면체는 다섯 가지만이 존재한다고 알려져 있었는데, 케플러는 이 정의에서 사용하는 면을 오목정다각형까지 확장시켰고, 두 개를 정다면체의 개념에 추가하였다. 이후 푸앵소는 이 정의에서 한 꼭지점에서 만나는 면의 개수를 분수번까지 확장시켜 케플러가 만든 다면체의 쌍대에 해당하는 두 개의 다면체를 찾아내었다.

주사위에서는 공평함을 위해 정다면체(특히 정육면체)를 쓰는 일이 많다. 반정다면체의 쌍대다면체인 카탈랑 다면체 등도 공평한 주사위로 쓸 수 있으나, 드문 편이다. 또한 10면체 주사위는 각 면이 연꼴(Kite)인 오각 엇쌍각뿔(Pentagonal trapezohedron)을 쓴다.

2. 볼록 정다면체

볼록 정다면체에는 오로지 다섯 가지 정다면체(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)만 존재한다.

3. 성질

오로지 다섯 개의 볼록 정다면체만 존재한다는 것은 다음과 같이 매우 간단하게 증명할 수 있다.

  • 다면체에서 최소한 세 개의 면이 있어야 하나의 꼭짓점이 만들어진다.
  • 각 꼭지각의 합은 360보다 작아야 한다.
  • 다면체를 구성하는 면은 모두 합동이므로 각 꼭지각의 크기는 같다. 한편, 이런 꼭지각이 최소 세 개로 구성되므로 모든 꼭지각의 크기는 360°÷3=120° 보다 작아야 한다.
  • 내각의 크기가 120°보다 작은 정다각형은 정삼각형 · 정사각형 · 정오각형 뿐이다.
  • 정삼각형: 내각의 크기가 60°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 삼각형면의 개수는 3개 · 4개 · 5개이다. 이것은 각각 정사면체 · 정팔면체 · 정이십면체에 해당한다.
  • 정사각형: 내각의 크기가 90°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 사각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정육면체에 해당한다.
  • 정오각형: 내각의 크기가 108°이므로, 하나의 꼭짓점에 모일 수 있는 오각형면의 개수는 3개이다. 이것은 정십이면체에 해당한다.

오일러 지표 를 이용하여 증명할 수 도 있으나. 사실상 위의 증명을 수치화한것에 가깝다.

4. 오목 정다면체

오목 정다면체에는 네 가지 다면체(작은 별모양 십이면체, 큰 십이면체, 큰 별모양 십이면체, 큰 이십면체)가 존재한다.

5. 선과 점의 개수

아래에서 모든 볼록 정다면체의 V-E+F=\,2가 나온다.

이를 오일러 지표라고 하는데, 모든 볼록 다면체에 대해 성립한다.

오목 다면체는 오일러 지표가 제멋대로이다.

정다면체

꼭짓점의 개수(V)

모서리의 개수(E)

면의 개수(F)

V-E+F

정사면체

4

6

4

2

정육면체

8

12

6

2

정팔면체

6

12

8

2

정십이면체

20

30

12

2

정이십면체

12

30

20

2

작은 별모양 십이면체

12

30

12

-6

큰 십이면체

12

30

12

-6

큰 별모양 십이면체

20

30

12

2

큰 이십면체

12

30

20

2


  1. [1] 여기에서 의미를 더 확장시켜 모든 면이 같은 종류의 정다각형인 평면 타일링 3종(각각 삼각형, 사각형, 육각형 정규 테셀레이션)까지 포함하기도 하나, 이렇게 정의하는 경우는 정말로 드물다. 따라서 여기에서는 포함시키지 않는다.

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