진자

  관련 문서: 고전역학

  고문도구에 대한 내용은 펜듈럼 문서를, 신사의 일본어 じんじゃ의 표준 표기법에 대한 내용은 신사(신토) 문서를 참조하십시오.

1. 개요
2. 종류
2.2. 물리진자
2.3. 비틀림 진자
2.4. 결합진자

1. 개요

Pendulum · 振子

일정한 축을 중심으로 일정한 주기 운동을 하는 물체를 말한다. 이때, 진자에 작용하는 복원력이나 결합 방식에 따라 그 종류가 나뉘게 된다.

2. 종류

2.1. 단진자

  자세한 내용은 단진자 문서를 참고하십시오.

2.2. 물리진자

Physical pendulum

수평한 회전축을 가지고 있는 강체. 괘종시계의 시계추가 물리진자에 해당한다.

위 그림에서 회전축 \textrm{O}로 부터 강체의 질량중심(Center of mass) \textrm{CM}까지의 거리를 L_{\textrm{CM}}이라 하자. 이때, 관성모멘트가 I인 강체가 받는 토크는

[math(\displaystyle I \ddot{\theta}=-mgL_{\mathrm{CM}}\sin{\theta} )]

가 되고, 이것을 정리하면,

[math(\displaystyle \ddot{\theta}+\frac{mgL_{\mathrm{CM}}}{I}\sin{\theta}=0 )]

가 된다. 이때 강체가 작은 변위로 진동한다고 가정하면, \textrm{sin}\,\theta \approx \theta로 놓을 수 있으므로

[math(\displaystyle \ddot{\theta}+\frac{mgL_{\mathrm{CM}}}{I}\theta=0 )]

따라서 이 미분 방정식에서 진자의 진동 주기는

[math(\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgL_{\mathrm{CM}}}} )]

임을 알 수 있다.

2.3. 비틀림 진자

Torsion pendulum

그림과 같이 비틀림 계수가 \chi인 줄에 관성 모멘트I인 원판이 매달려 있는 비틀림 진자를 고려해보자. 이때, 진자를 \theta만큼 비틀게 됐을 때, 진자에 작용하는 복원 토크는

[math(\displaystyle I \ddot{\theta} =-\chi \theta )]

로 주어진다. 따라서 이 방정식을 정리하면,

[math( \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{ \chi}{I} \theta =0 )]

가 되므로 비틀림 진자의 주기는

[math( \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{I}{\chi}} )]

가 된다. 따라서 초기에 \theta_{m}만큼 비틀었다면, 평형점 \textrm{O}을 기준으로 \theta_{m}만큼의 진폭으로 진동하게 됨을 알 수 있다.

2.4. 결합진자

Coupled pendulum

결합진자의 형태는 무수히 많으며, 위는 대표적인 예를 모아놓은 것이다.

(가)의 경우 두 진자의 고유 진동수가 비슷하면 하나의 진자가 흔들릴때 다른 진자도 흔들리는 공명을 일으킨다. 하지만 두 진자의 고유 진동수가 다르면 공명을 잘 일으키지 않는다. 공명의 대표적인 예시 중 하나이다.

(나) 상황에 대해 아래를 고려해보자. 문제 상황을 쉽게하기 위해 질량은 같다고 가정했고, 평형상태에서 용수철이 늘어난 길이는 없다.

우선 계의 운동 에너지는

[math(\displaystyle T=\frac{1}{2}m({\dot{x}_{1}}^{2}+{\dot{x}_{2}}^{2}) )]

이고, 계의 퍼텐셜 에너지는 x_{\textrm{1}} \leq x_{\textrm{2}}라 가정하면,

[math(\displaystyle U=mgl(1-\cos{\theta_{1}})+mgl(1-\cos{\theta_{1}})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]

이다. 이때, \theta_{\textrm{1}}, \, \theta_{\textrm{2}}가 매우 작다고 가정하면,

[math(\displaystyle \cos{\theta_{i}} \approx 1-\frac{\theta_{i}^{2}}{2} )]

로 근사 가능하다. 따라서 퍼텐셜 에너지는

[math(\displaystyle U=mgl\left( \frac{\theta_{1}^{2}}{2}+\frac{\theta_{2}^{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]

그런데, \theta_{\textrm{1}}, \, \theta_{\textrm{2}}가 매우 작으므로

[math(\displaystyle l \theta_{i} \approx x_{i} )]

로 할 수 있음에 따라

[math(\displaystyle U=\frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} )]

이상에서 계의 라그랑지안

[math(\displaystyle \begin{aligned} L&=T-U \\&=\frac{1}{2}m({\dot{x}_{1}}^{2}+{\dot{x}_{2}}^{2})-\left[ \frac{mg}{2l}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+\frac{1}{2}k(x_{2}-x_{1})^{2} \right] \end{aligned} )]

이상에서 x_{\textrm{1}}, \, x_{\textrm{2}}의 각각에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} x_{1}& \,:\, \frac{\partial L}{\partial x_{1}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{1}} \right) \\ x_{2}& \,:\, \frac{\partial L}{\partial x_{2}}-\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}_{2}} \right) \end{aligned} )]

오일러 방정식을 품으로써 나온 두 식을 더허거나 빼면, 아래의 두 식을 얻는다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} (\ddot{x}_{1}+\ddot{x}_{2})+\frac{g}{l}(x_{1}+x_{2})&=0 \\ (\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2})+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right] (x_{1}-x_{2})&=0 \end{aligned} )]

이때, x_{\textrm{1}}+x_{\textrm{2}} \equiv X, x_{\textrm{2}}-x_{\textrm{1}} \equiv Y라 놓으면, 두 방정식을 쉽게 판단할 수 있다.

[math(\displaystyle \ddot{X}+\frac{g}{l}X=0 \qquad \qquad \ddot{Y}+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right]Y=0 )]

두 방정식은 각각 각진동수 \sqrt{g/l}, \sqrt{(g/l)+(\textrm{2}k/m)}의 조화진동자의 진동 방정식이다. 따라서 결합진자에서 두 변위의 합과 차는 sine 혹은 cosine 항으로 기술된다는 것을 알 수 있다.

이때, x_{\textrm{1}}=x_{\textrm{2}} 라면, 계는 위의 첫 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.

[math(\displaystyle \ddot{x}_{2}+\frac{g}{l}x_{2}=0 )]

이때, x_{\textrm{1}}=-x_{\textrm{2}} 라면, 계는 위의 두 번째 식만 남고 아래의 식으로 기술된다.

[math(\displaystyle \ddot{x}_{2}+\left[ \frac{g}{l}+\frac{2k}{m} \right]x_{2}=0 )]

이때, 위, 아래 상황은 아래 그림과 같이 각각 동 위상, 반대 위상으로 같은 진폭으로 진동하는 경우이다. 따라서 반대 위상인 경우가 더 빠르게 진동함을 알 수 있다.

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